Некоторые Теоремы Штурма (стр. 2 из 5)

(iv) Если

, -решения уравнения (2.1), то соответствующие векторные решения системы (2.3) , линейно независимы (в каждой точке t) тогда и только тогда, когда функции , линейно

независимы в том смысле, что равенство

, где и - постоянные, влечет за собой .

(v) Если

, - решения уравнения (2.1), то существует постоянная с, зависящая от и (t) и v (t) и такая, что для их вронскиана W (t) = W (t; и, v) выполняется тождество

.(2.7)

Поскольку матричным решением системы (2.3) является

,

detX(t)=p(t)W(t) и trA(t)=0.

(vi)Тождество Лагранжа. Рассмотрим пару уравнений

, , (2.8)

где f=f(t), g=g (t) - непрерывные функции на J. Если умножить второе уравнение на и, первое-на v и результаты вычесть, мы получим, что

, (2.9)

так как

. Соотношение (2.9) называется тождеством Лагранжа. Его интегральная форма

(2.10)

где

, называется формулой Грина.

(vii) В частности, из (v) следует, что и(t) и v(t) - линейно независимые решения уравнения (2.1) тогда и только тогда, когда в (2.7)

. В этом случае всякое решение уравнения (2.1) является линейной комбинацией функций и(t) и v(t) с постоянными коэффициентами.

(viii) Если

(например, ), то вронскиан любой пары решений и(t), v(t) уравнения (2.1) равен постоянной .

(ix) В соответствии с результатами общей теории, в случае, когда известно одно решение

уравнения (2.1), отыскание других решений v(t) этого уравнения (по крайней мере локально) сводится к решению некоторого скалярного дифференциального уравнения первого порядка. Если на подинтервале , этим уравнением служит уравнение (2.7), где и - известная функция, а v - искомая. Если поделить (2.7) на , то это уравнение запишется в виде

, (2.11)

а после интегрирования мы будем иметь

, (2.12)

где а,

. Легко проверить, что если , - произвольные постоянные и а, , то функция (2.12) является решением уравнения (2.1), удовлетворяющим (2.7) на любом интервале J', где .

(х) Пусть и(t), v(t) - решения уравнения (2.1), удовлетворяющие (2.7) с

. При фиксированном решением уравнения (2.1), удовлетворяющим начальным условиям и (s) = 0, p(s)u'(s)= 1, является . Поэтому решением уравнения (2.2), удовлетворяющим условиям , служит функция

; (2.13)

(проще проверить это непосредственно). Общее решение уравнения (2.2) получается прибавлением к (2.13) общего решения

уравнения (2.1), что дает

. (2.14)

Если замкнутый ограниченный интервал [a,b] содержится в J, то, полагая

, ,

мы получаем из (2.14) частное решение

.(2.15)

Оно может быть записано в виде

, (2.16)

где

(2.17)

матрица С (t) зависит от

, но не зависит от их производных. В этом случае уравнение (2.1) и эквивалентная ему система (2.3) сводятся к системе

. (2.28)

(xii) Если известно частное решение

уравнения (2.27), не равное нулю на J, то мы можем определить линейно независимые решения с помощью квадратур (см. (ix)) и затем найти матрицу, входящую в (2.28). В действительности, тот же результат можно получить более прямым путем. Пусть уравнение (2.27) имеет решение на интервале J. Заменим неизвестную функцию и в (2.1) на z, так что

. (2.29)

Функция z удовлетворяет дифференциальному уравнению

.

Умножая его на

, мы получаем, что

(2.30)

или, в силу (2.27), что

, (2.31)

т. е. подстановка (2.29) приводит уравнение (2.1) к (2.30) или к (2.31). Мы могли также начинать не с решения

дифференциального уравнения (2.27), а с функции , имеющей непрерывную производную и такой, что непрерывно дифференцируема. При этом определяется равенством (2.27), так что . Подстановка (2.29) будет называться также вариацией постоянных.

(xiii)Подстановка Лиувилля. В качестве частного случая рассмотрим (2.1) с р (t) = 1:

и" + q (t) и = 0. (2.32)

Предположим, что функция q (t) имеет непрерывную производную второго порядка, вещественна и не равна нулю, так что

±q (t) > 0, где ± = sgn q (t) (2.33)

не зависит от t. Рассмотрим вариацию постоянных

. (2.34)

Тогда (2.32) сводится к (2.30), где

, т. е. к уравнению

(2.35)

Замена независимых переменных

, определенная соотношением