2.7. Определённый интеграл как предел интегральной суммы.
Требуется найти предел суммы (1) f(a1) Dх1 + f(a2) Dх2 + … + f(aп) Dхп = å f(ai) Dхi,
когда длины Dхi всех частичных интервалов Di стремятся к нулю (при этом с необходимостью число п этих интервалов будет стремиться к бесконечности). Другими словами, требуется найти предел этой суммы при max Dхi® 0, так как условие, что максимальная из длин частичных интервалов Di стремится к нулю, равносильно условию, что все Dхi® 0.
Итак, требуется найти lim å f(хi) Dхi.
Определение. Сумму (1) называют интегральной суммой.
Определение. Функция f(х) называется интегрируемой на интервале [а,в], если существует конечный предел lim å f(ai) Dхi, (2)
не зависящий от того, каким образом интервал [а,в] делится на частичные интервалы и каким образом выбираются точки ai на этих частичных интервалах, лишь бы длина максимального из них стремилась к нулю. Этот предел называется определённым интегралом от функции f(х) на интервале [а,в] и обозначается символом
f(х)dх = lim å f(ai) Dхi. Для того чтобы не оставалось неясностей, сформулируем точно, как следует понимать предел (2).
Определение. Число J называется пределом интегральной суммы å f(ai)Dхi при max Dхi® 0, если для любого заданного e > 0 найдётся такое d > 0, что выполняется неравенство: |å f(ai)Dхi – J |< e
при любом выборе частных интервалов, D1, D2, …, Dп и точек a1, a2, …, aп на этих интервалах, лишь бы только выполнялось требование max Dхi® 0, то есть лишь бы длина наибольшего (а значит, и всех) из частичных интервалов была меньше d.
Из определения определённого интеграла отнюдь не следует, что любая функция интегрируема на любом интервале. Можно подобрать такие функции, для которых определённый интеграл не существует, то есть для которых интегральная сумма не стремится к определённому пределу. Существование определённого интеграла от функции, заданной на интервале [а,в], обеспечивает непрерывность этой функции на [а,в], поэтому непрерывность функции на [а,в] является достаточным условием её интегрируемости на этом интервале, то есть
Теорема 1. Если функция f(х) непрерывна на замкнутом интервале [а,в], то она интегрируема на этом интервале, то есть имеет определённый интеграл
f(х)dх. Иногда на практике приходится интегрировать и разрывные функции. Приведём несколько более широкое достаточное условие существования интеграла.
Теорема 2. Если на интервале [а,в] функция ограничена и имеет лишь конечное число точек разрыва, то она интегрируема на [а,в].
2.8. Основные свойства определённого интеграла.
Теорема 1. Пусть с – промежуточная точка интервала [а,в] (а < с < в). Тогда имеет место равенство f(х)dх = f(х)dх + f(х)dх,
если все эти три интеграла существуют.
Доказательство: Разобьём [а,в] на п частичных интервалов [а,х1], [х1,х2], …, [хп–1, в] длиной соответственно Dх1, Dх2, …, Dхп так, чтобы точка с была точкой деления. Пусть, например, хт = с (т < п). Тогда интегральная сумма å f(ai)Dхi
соответствующая интервалу [а,в], разобьётся на две суммы: å f(ai)Dхi = å f(ai)Dхi = å f(ai)Dхi
соответствующие интервалам [а,с] и [с,в].
Переходя к пределу при неопределённом уменьшении длины максимального частного интервала Dхi, то есть, при max Dхi® 0, будем иметь
f(х)dх = f(х)dх + f(х)dх, 
Теорема 2. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла, то есть k f(х)dх = k f(х)dх.
Доказательство: По определению: k f(х)dх = lim [k f(a1)Dх1 + k f(a2)Dх2 + … + k f(aп)Dхп] = = lim å k f(ai)Dхi. Но так как, согласно одному из свойств предела, 