Основные понятия дифференциального исчисления и история их развития (Бакалавр) (стр. 5 из 9)

lim å k f(a_i)Dх_i = k lim å f(a_i)Dх_i,

и так как, по определению, lim å f(a_i)Dх_i = f(х)dх

то k f(х)dх = k lim å f(a_i)Dх_i = k f(х)dх

Теорема 3. Определённый интеграл от алгебраической суммы нескольких непрерывных функций равен алгебраической сумме определённы интегралов от этих функций.

Доказательство: Докажем, например, что

[f₁(х) + f₂(х) – f₃(х)]dх = f₁(х)dх + f₂(х)dх – f₃(х)dх

в самом деле имеем:

[f₁(х) + f₂(х) – f₃(х)]dх = lim å [ f₁(a_i)dх + f₂(a_i)dх – f₃(a_i)]Dх_i=

= lim å f₁(a_i)Dх_i + lim å f₂(a_i)Dх_i – lim å f₃(a_i)Dх_i=

= f₁(х)dх + f₂(х)dх – f₃(х)dх

Теорема 3. (о среднем значении определённого интеграла)

Если функция f(х) непрерывна на [а,в], то внутри него найдётся такая точка С.

f(х)dх = (в–а) f(с)

Доказательство: Так как функция f(х) непрерывна на [а,в], то она достигает своего наибольшего и наименьшего значений М и т на [а,в]. произведём обычное разбиение интервала [а,в], на п частичных интервалов D_i длиной Dх_i= х f(a_i) ³ т – х_i–1(i = 1, …, п).

Так как f(a_i) ³ т при любом a_i, то

f(a_i)Dх_i ³ тDх_i

откуда å f(a_i)Dх_i³ т å Dх_i

или å f(a_i)Dх_i³ т(в – а)

так как å Dх_i = Dх₁+Dх₂ + … + Dх_п = в – а.

Так как, далее, f(a_i) £ т, при любом a_i, то

f(a_i)Dх_i£ МDх_i

а потому å f(a_i)Dх_i£ М åDх_i,

то есть, å f(a_i)Dх_i£ М(в – а).

Таким образом, имеем

т(в – а) £ å f(a_i)Dх_i£ М(в – а).

Переходя к пределу при max Dх_i® 0, получим неравенства

т(в – а) £ f(х)dх £ М(в – а)

f(х)dх

(в – а)

Из этих неравенств и теореме о непрерывной функции на [а,в], принимающей в этом [а,в] все промежуточные значения между своими наибольшими и наименьшими значениями, следует, что отношение

f(х)dх

(в – а)

можно принять за значение f(с) функции f(х) в некоторой промежуточной точке с интервала [а,в] (т £ f(с)£ М).

Таким образом,

( f(х)dх) / (в – а) = f(с)

или

f(х)dх = (в – а)f(с)

2.9. Геометрический смысл определённого интеграла.

Известно, что площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху непрерывной кривой у = f(х), снизу – интервалом [а,в] оси Ох (а £ х £ в) и с боковых сторон – прямыми х = а, х = в, равна

S = lim å f(a_i)Dх_i

Но, по определению,

f(х)dх = lim å f(a_i)Dх_i

следовательно,

S = f(х)dх

Таким образом, в случае, когда f(х) ³ 0, то есть, когда график функции у = f(х) располагается над осью Ох, определённый интеграл численно равен площади S криволинейной трапеции.

Если же f(х) = 0 при а £ х £ в, то есть если кривая располагается под осью Ох, то сумма

å f(a_i)Dх_i

равна сумме площадей криволинейной трапеции аАВв, взятой со знаком минус (рис. 4)

Тогда с геометрической точки зрения определённый интеграл от f(х)dх численно равен площади S криволинейной трапеции, ограниченной интервалом [а,в] оси Ох (а £ х £ в), непрерывной кривой у = f(х) и отрезками прямых х = а, х = в, равными f(а) и f(в).

2.10. Теорема Ньютона–Лейбница.

Пусть функция f непрерывна на [а,в]. тогда она интегрируема на любом отрезке, [а,х], где а £ х £ в, то есть, для любого х Î [а,в], существует интеграл

F(х) = f(t)dt (V)

Если f(t)³0 " tÎ[а,в], то F(х) = S(х), где S(х) – площадь криволинейной трапеции аАL(х) (рис. 5)

Определение. Функция F определённая соотношением (V) на [а,в] называется интегралом с переменным верхним пределом.

Эта функция непрерывна и дифференцируема на [а,в]. А именно имеет место следующая теорема.