Классы конечных групп F, замкнутые относительно произведения обобщенно субнормальных F-подгрупп (стр. 11 из 20)

Пусть теперь

. Если --- неабелева, то . Тогда . Отсюда следует, что . А это значит, что . Отсюда следует, что , где --- любое простое число из .

Рассмотрим подгруппу

, где --- любая силовская подгруппа из .

Если

, то, как и выше, получаем, что .

Если

, то, как и выше, получаем, что . Отсюда следует, что , где --- любое простое число из . Согласно лемме 2.2.9, любая силовская подгруппа группы есть , где --- силовские подгруппы из и соответственно. Отсюда следует, что любое простое число из принадлежит . Следовательно, . А это значит, что .

Пусть

--- абелева группа, то . Но тогда .

Ввиду

, получаем, что для любой . А это значит, что .

Пусть теперь

--- произвольная наследственная формация и . По лемме 3.2.1, композиционные факторы группы содержатся среди композиционных факторов групп из . Это значит, что принадлежит .

Пусть

. Так как , то ввиду леммы 3.2.2, силовские подгруппы из и -субнормальны в . По доказанному, . Так как , то, по лемме 3.2.2, . Теорема доказана.

2.4 Следствие (В.Н. Семенчук, Л.А. Шеметков [33]). Пусть

--- наследственная формация. Тогда всякая формация вида является сверхрадикальной.

Доказательство. Пусть

, где и --- -субнормальные -подгруппы группы . Так как --- наследственная формация, то согласно лемме 3.1.4, любая силовская подгруппа из (из ) -субнормальна в (соответственно в ). Отсюда, согласно лемме 3.1.4, любая силовская подгруппа из и из -субнормальна в . Теперь требуемый результат следует из теоремы 3.2.3.

2.5 Следствие (В.Н. Семенчук, Л.А. Шеметков [33]). Формация вида

является сверхрадикальной.

2.6 Следствие. Пусть

--- формация всех -нильпотентных групп. Тогда содержит любую группу , где и --- -субнормальные подгруппы группы , принадлежащие .

2.7 Следствие. Пусть

--- формация всех -замкнутых групп. Тогда содержит любую группу , где и --- -субнормальные подгруппы группы , принадлежащие .

2.8 Следствие. Пусть

--- формация всех -разложимых групп. Тогда содержит любую группу , где и --- -субнормальные подгруппы группы , принадлежащие .