Классы конечных групп F, замкнутые относительно произведения обобщенно субнормальных F-подгрупп (стр. 12 из 20)

2.9 Следствие [10-A, 13-A]. Пусть

. Тогда формация содержит любую группу , у которой и силовские подгруппы из подгрупп и -субнормальны в .

2.10 Следствие [10-A, 13-A]. Пусть

--- формация всех -нильпо- тентных групп. Тогда содержит любую группу , у которой силовские подгруппы из подгрупп и -субнормальны в .

2.11 Следствие [10-A, 13-A]. Пусть

--- формация всех -замкнутых групп. Тогда содержит любую группу , у которой силовские подгруппы из подгрупп и -субнормальны в .

2.12 Следствие [10-A, 13-A]. Пусть

--- формация всех -разложимых групп. Тогда содержит любую группу , у которой силовские подгруппы из подгрупп и -субнормальны в .

2.13 Лемма. Пусть

--- непустая наследственная формация. Пусть все композиционные факторы группы принадлежат . Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1)

--- -субнормальная подгруппа группы ;

2)

--- -достижимая подгруппа группы .

Доказательство. Пусть

--- -субнормальная подгруппа группы . Тогда, по определению, --- -достижимая подгруппа группы .

Пусть

--- -достижимая подгруппа группы . Тогда существует цепь

в которой для любого

либо нормальна в , либо .

Пусть

. Уплотним участок от до цепи до максимальной -цепи.

Ввиду утверждения 1) леммы 3.1.4, все подгруппы

, содержащие , -субнормальны в . Пусть теперь нормальна в . Можно считать, что --- максимальная нормальная подгруппа (в противном случае уплотняем участок от до до композиционной -цепи). Ввиду условия леммы , т. е. . Пришли к рассматриваемому выше случаю. Теперь, ввиду утверждения 1) леммы 3.1.4, подгруппа -субнормальна в . Лемма доказана.

2.14 Лемма. Пусть

--- наследственная насыщенная формация. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) любая группа

, где и любые силовские подгруппы из подгрупп и -субнормальны в , принадлежит ;

2) любая группа

, где и любые силовские подгруппы из подгрупп и -достижимы в , принадлежит .

Доказательство. Покажем, что из 1) следует 2). Доказательство проведем индукцией по порядку группы

.

Пусть

--- минимальная нормальная подгруппа группы . Очевидно, что . Пусть --- произвольная -силовская подгруппа из . Ясно, что --- -силовская подгруппа из . По лемме 3.1.5, --- -достижимая подгруппа группы . Аналогичным образом доказыватся, что любая силовская подгруппа из -достижима в . Так как , то по индукции, . Предположим, что и --- две различные минимальные нормальные подгруппы группы . Выше показано, что , . Так как --- формация, то . Итак, имеет единственную минимальную нормальную подгруппу .