Классы конечных групп F, замкнутые относительно произведения обобщенно субнормальных F-подгрупп (стр. 16 из 20)

Пусть

--- произвольная минимальная не -группа. Согласно условию теоремы, разрешима. Если , то нетрудно заметить, что --- группа простого порядка , где .

Рассмотрим случай, когда

. Согласно теореме 2.2.5, , где --- единственная минимальная нормальная подгруппа из , --- -группа, , --- максимальный внутренний локальный экран формации . Очевидно, что .

Покажем, что

является примарной циклической подгруппой. Предположим противное. Поскольку --- разрешимая группа, то в существуют максимальные подгруппы и такие, что . Так как , то очевидно, что и --- -нормальные максимальные -подгруппы группы . Но тогда . Так как --- сверхрадикальная формация, то . Противоречие. Итак, имеет единственный класс максимальных сопряженных подгрупп. Следовательно, --- циклическая -подгруппа. Поскольку --- насыщенная формация и , имеем .

Покажем, что

. Предположим противное. Пусть , где . Пусть и --- циклические группы соответственно порядков и . Обозначим через регулярное сплетение . Пусть --- база сплетения, т. е. . Так как некоторая подгруппа группы изоморфна , то . Очевидно, подгруппы , принадлежат формации .

Пусть

, где . Обозначим через базу сплетения . Тогда .

Так как

, то , значит, что подгруппы и -субнормальны в . Легко видеть, что , .

Так как

--- сверхрадикальная формация, то . Но , и поэтому .

Полученное противоречие показывает, что

. Итак, --- группа Шмидта. Теперь из леммы 3.1.1 следует, что --- группа Шмидта.

Пусть

--- максимальный внутренний локальный экран формации . Покажем, что формация имеет полный локальный экран такой, что , для любого из . Действительно, пусть --- такая формация, у которой есть локальный экран . Покажем, что .

С учетом того, что

для любого простого из , получим .

Покажем обратное включение. Пусть

--- группа наименьшего порядка из . Так как --- наследственная формация, то формация также является наследственной, значит, . Так как --- насыщенная формация, то нетрудно показать, что .