Классы конечных групп F, замкнутые относительно произведения обобщенно субнормальных F-подгрупп (стр. 5 из 20)

1)

--- нормально наследственная формация;

2) любая группа

, где и --- -субнормальные -подгруппы из , принадлежит .

В.Н. Семенчуком в работе [28] в классе конечных разрешимых групп было получено полное решение данной проблемы.

В данной главе получено полное решение проблемы Шеметкова для наследственных насыщенных формаций, критические группы которых разрешимы

В данном разделе приводятся некоторые свойства критических групп (минимальных не

-групп) и обобщенно субнормальных ( -субнормальных и -достижимых) подгрупп, которые будут использоваться при доказательстве основных результатов диссертации.

Напомним, что критической группой формации

( минимальной не -группой) называется группа, не принадлежащая , все собственные подгруппы которой принадлежат . Множество всех таких групп обозначают . Через обозначают множество всех разрешимых групп, а через --- множество всех групп, у которых -корадикал разрешим.

1.1 Лемма. Пусть

--- насыщенная формация, --- наследственная насыщенная формация. Если и , где , то .

Доказательство. Пусть

. По теореме 2.2.1, --- -группа. Очевидно, что . По лемме 2.2.2, , где --- -группа, --- -группа и . Так как и , то . Следовательно, --- -группа. Пусть --- -главный фактор . Если --- -группа, то -централен.

Пусть

--- -группа. По теореме 2.2.3, . Пусть и --- произвольная -абнормальная максимальная подгруппа группы . Тогда . Так как , то, по теореме 2.2.4, . Следовательно, . Поскольку

то

. Учитывая, что , по теореме 2.2.5, имеем

где

--- максимальные внутренние локальные экраны, соответственно и . Если , то . Отсюда и из того, что

следует

. А это значит, что -централен.

Пусть

. Так как --- насыщенная формация и , то . Следовательно, --- -нормализатор группы . В силу того, что покрывает , то -централен. Следовательно, . По теореме 2.2.4, . Лемма доказана.

1.2 Лемма. Пусть

--- непустая наследственная формация. Если --- -субнормальная подгруппа, то --- субнормальная подгруппа.

Доказательство. Пусть

--- -субнормальная подгруппа группы . Если , то лемма очевидна. Пусть . Тогда содержится в максимальной -нормальной подгруппе группы . По индукции, --- субнормальная подгруппа из . Так как и --- наследственная формация, то . Следовательно, , значит, . Поскольку --- нормальная подгруппа группы , то --- субнормальная подгруппа . Лемма доказана.