Классы конечных групп F, замкнутые относительно произведения обобщенно субнормальных F-подгрупп (стр. 7 из 20)

такая, что

для всех . Отсюда, с учетом леммы 2.2.6 получаем, что в группе существует максимальная цепь

такая, что

для всех .

А это значит, что

--- -субнормальная подгруппа группы .

Пусть

--- подгруппа группы , содержащая , тогда --- -субнормальная подгруппа группы . А так как любая -субнормальная подгруппа группы является -достижимой в , то --- -достижимая подгруппа группы .

2) Пусть

--- -субнормальная подгруппа группы . Тогда, по определению, существует максимальная цепь подгрупп

такая, что для любого

.

Пусть

--- некоторая подгруппа из . Рассмотрим цепь подгрупп

Так как

и формация наследственна, то из следует, что

Теперь, ввиду изоморфизма,

имеем

. Значит, . Так как , то . Итак, . Отсюда, по определению, --- -субнормальная подгруппа группы .

Пусть

--- -достижимая подгруппа группы . Тогда, по определению, существует цепь подгрупп

такая, что для любого

либо подгруппа нормальна в , либо .

Пусть

--- некоторая подгруппа из . Рассмотрим цепь подгрупп:

Если подгруппа

нормальна в , то подгруппа нормальна в . Пусть . Так как формация наследственна, то из следует, что

Теперь, ввиду изоморфизма,

имеем

. Значит, . Так как , то . Итак, для каждого либо подгруппа нормальна в , либо . Отсюда, по определению, --- -достижимая подгруппа группы .

Утверждение 3) следует непосредственно из определения

-субнормальной ( -достижимой) подгруппы.

Утверждение 4) следует теперь из утверждений 2) и 3).

5) Пусть все композиционные факторы группы

принадлежат формации , и пусть --- субнормальная подгруппа группы . Тогда в группе существует цепь подгрупп

такая, что для любого

подгруппа нормальна в .

Согласно условию,

, отсюда следует, что . А это значит, что подгруппа -субнормальна в группе .

Утверждение 6) следует непосредственно из определения

-субнормальной ( -достижимой) подгруппы. Лемма доказана.