1.5 Лемма. Пусть

--- непустая формация,

и

--- подгруппы группы

, причем

нормальна в

. Тогда:
1) если

-субнормальна (

-достижима) в

, то

-субнормальна (

-достижима) в

и

-субнормальна (

-достижима) в

;
2) если

, то

-субнормальна (

-достижима) в

тогда и только тогда, когда

-субнормальна (

-достижима) в

.
Доказательство. Пусть

---

-субнормальная подгруппа группы

. Тогда, по определению, существует максимальная цепь подгрупп

такая, что для любого

.
Рассмотрим следующую цепь подгрупп

Так как

, то ввиду леммы 2.2.6,

. Отсюда следует, что

Итак, для каждого

. Отсюда, по определению,

---

-субнормальная подгруппа группы

.
Ввиду леммы 2.2.6,

Поэтому для любого

. Значит,

---

-субнормальная подгруппа группы

.
Пусть

---

-достижимая подгруппа группы

. Тогда, по опрeделению, существует цепь подгрупп

такая, что для любого

либо

нормальна в

, либо

. Рассмотрим следующую цепь подгрупп

Если подгруппа

нормальна в

, то подгруппа

нормальна в

. Пусть

. Тогда ввиду леммы 2.2.6,

. Отсюда следует, что

. Итак, для каждого

либо подгруппа

нормальна в

, либо

. Отсюда, по определению,

---

-достижимая подгруппа группы

.
Ввиду леммы 2.2.6,

. Поэтому для любого

либо подгруппа

нормальна в

, либо

. Значит,

---

-достижимая подгруппа группы

.
Утверждение 2) следует из 1) и леммы 2.2.6. Лемма доказана.
В работе [3] А.Ф. Васильевым была предложена задача об описании наследственных насыщенных формаций, замкнутых относительно произведения подгрупп

и

, у которых любая силовская подгруппа

-субнормальна в

. В этой же работе было получено описание таких формаций в классе конечных разрешимых групп. Развитию данного направления были посвящены работы [4, 16].
В данном разделе найдены серии наследственных насыщенных формаций, не входящих в класс конечных разрешимых групп, обладающих отмеченным выше свойством.
В теории классов групп важную роль играет класс всех

-групп (

--- некоторое множество простых чисел), который обозначается через

. Большинство важнейших классов групп можно построить из классов вида

с помощью операций пересечения и произведения классов.
Напомним, что произведением классов групп

и

называется класс групп

, который состоит из всех групп

, таких, что в

найдется нормальная

-подгруппа

с условием

.