Теория вероятностей и математическая статистика (стр. 10 из 17)
Для проверки того, какая из выдвинутых гипотез справедлива, проводится опыт, в результате которого получаем выборку
. Определив значение критерия 
, мы наблюдаем одно из двух случайных событий 
или 
. Нам известно, что если гипотеза 
верна, то событие 
наступить не может, то есть 
.Если у нас имеет место событие
, то мы говорим, что гипотеза неверна, то есть мы её отклоняем и принимаем альтернативную гипотезу.Так как реально мы всегда находимся в условиях статистически устойчивой случайности, то мы понимаем, что при верной гипотезе
событие может наступить, но его вероятность 
- мала. Поэтому при принятии решения мы говорим: «Так как событие практически невозможное, его вероятность 
- очень мала, то гипотеза отклоняется». То есть мы лишь изредка будем ошибаться, и вероятность нашей ошибки будет равна .Если мы в результате опыта мы будем наблюдать событие
, то мы говорим: « Так как произошло событие , то у нас нет оснований отклонять гипотезу ». То есть гипотеза - принимается. Так «осторожно» мы говорим в этом случае потому, что наступление события есть результат однократного проведения опыта. Не исключено, что при повторных проведениях опытов это событие мы больше наблюдать не будем.Так как результаты эксперимента являются выборкой из возможных значений исследуемой случайной величины, то нельзя считать значения критерия
детерминированными. Поэтому при принятии решений и формулировании выводов возможны ошибки двух видов. Поэтому при выборе критерия проверки справедливости гипотез экспериментатор стремится подобрать или построить такой критерий, при котором вероятности этих ошибок будут по возможности минимальными. Такие критерии строятся на основании основных положений теории вероятностей и, прежде всего, классической предельной проблемы. Рассматриваются примеры построения критериев проверки гипотез для некоторых наиболее распространённых задач математической статистики.Модуль 9. Корреляционный и регрессионный анализы
Цель модуля: Научить студентов узнавать наличие статистических связей между различными случайными количественными характеристиками изучаемых объектов и явлений; оценивать силу этих статистических связей и определять функцию регрессии одной из случайных величин на другую.
В корреляционном анализе рассматриваются статистические зависимости между случайными величинами. При этом решаются две задачи. Первая – оценка силы статистической связи между случайными величинами. Вторая – определение функции, которая описывает тенденцию изменения значений одной из случайных величин при изменении значений другой случайной величины.
Если статистическая зависимость имеет линейный характер, то сила связи оценивается коэффициентом линейной корреляции. Коэффициент линейной корреляции является теоретической числовой характеристикой двумерной случайной величины. Так как при решении практических задач экспериментатор имеет в своём распоряжении только двумерную выборку возможных значений исследуемой случайной величины, то оценка силы связи осуществляется с помощью эмпирического коэффициента линейной корреляции.
Формула эмпирического коэффициента линейной корреляции получается применением метода моментов определения точечных оценок.
Для решения второй задачи сначала вводится понятие условной случайной величины:
и 
. Определяются законы распределения вероятностей этих условных случайных величин и их условные математические ожидания: 
и 
.Условное математическое ожидание позволяет естественно ввести определение функции регрессии – как функции, описывающей изменение значений условного математического ожидания одной из случайных величин при изменении значений другой случайной величины в области её возможных значений:
и 
.При выбранном виде функции регрессии вторая задача корреляционного анализа сводится к определению коэффициентов этой функции. Сначала, применяя метод наименьших квадратов, определяем статистические оценки коэффициентов функции регрессии. Коэффициенты функции регрессии, являясь статистиками, выражаются через точечные оценки числовых характеристик двумерной случайной величины. Применяя метод моментов «наоборот», записываем теоретическое уравнение функции регрессии одной случайной величины на другую.
В регрессионном анализе определяется функция регрессии случайной величины на изменение детерминированного параметра. В качестве примера рассматривается «Задача Путина В.В.» об удвоении в течение десяти лет внутреннего валового продукта Российской Федерации.
Определение остаточной дисперсии, с одной стороны, «служит» задачам корреляционного анализа, а с другой стороны, «закладывает фундамент» для решения задач методами дисперсионного анализа.
V. Экзаменационные вопросы
В каждом экзаменационном билете содержатся названия терминов и понятий теории вероятностей, которым надо дать определения, и два теоретических вопроса. Первый вопрос билета призван проверить знания студента из первой части курса, которая излагается в первых четырёх модулях. Во вторых вопросах билета проверяются знания классической предельной проблемы теории вероятностей и математической статистики, которые излагаются в следующих пяти модулях.
1. Вероятностная модель с не более чем счётным числом элементарных исходов. Пример: испытания с равновозможными исходами.
2. Вероятностная модель с не более чем счётным числом элементарных исходов. Пример: повторные независимые испытания.
3. Вероятностная модель с не более чем счётным числом элементарных исходов. Пример: испытания до первого положительного исхода.
4. Условная вероятность. Вероятность произведения событий. Зависимые и независимые события.
5. Формула полной вероятности.
6. Формула Байеса.
7. Аксиоматическое построение вероятностной модели. Аксиомы А.Н. Колмогорова.
8. Свойства
вероятностной функции.9. Теорема о непрерывности вероятностной функции. Импликации
и 
.10. Теорема о непрерывности вероятностной функции. Импликации
и 
.11. Измеримое пространство <R,B(R)>. Борелевские множества на множестве вещественных чисел.
12. Измеримое пространство <Rn,B(Rn)>. Борелевские множества на плоскости.
13. Вероятностная функция дискретного типа на измеримых пространствах <R,B(R)> и <Rn,B(Rn)>. Примеры.
14. Вероятностная функция непрерывного типа на измеримых пространствах <R,B(R)> и <Rn,B(Rn)>. Примеры.
15. Случайная величина. Типы случайных величин. Функция распределения случайной величины.
16. Случайный вектор. Компоненты случайного вектора. Частные вероятностные функции и частные функции распределения.
17. Функция распределения. Свойства. Примеры функций распределения дискретного типа.
18. Функция распределения. Свойства. Примеры функций распределения непрерывного типа.
19. Многомерная функция распределения. Свойства. Примеры. Свойства согласованности.
20. Независимость компонент случайного вектора. Критерий независимости.