Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел (стр. 2 из 6)
Элементы
и 
из Sназываются взаимно простыми, если НОД( , )=1.Предварительно рассмотрим простейшие свойства отношения делимости в целых полугруппах.
Свойства делимости в целых полугруппах
(1)
;(2)
– рефлексивность;(3)
– антисимметричность;(4)
– транзитивность;(5)
;(6)
;(7) Любой простой элемент неприводим;
(8) р неприводим Û
;Свойство 1. НОД и НОК нескольких элементов определены однозначно, если существуют.
Доказательство. Проведем доказательство для НОД двух элементов а и bиз S. Пусть
(a,b) и 
(a,b). Тогда из определения НОД следует 
и 
. По свойству антисимметричности имеем 
.Свойство 2. 
.
Доказательство. Импликации 
и
очевидны. Пусть 
, т.е. 
для некоторого 
. Очевидно, b – общий делитель а и b. Возьмем произвольный общий делитель с элементов а и b. Для него существуют такой элемент 
, что и 
. Таким образом, с делит b. Это и означает, что 
. Аналогично доказывается 
.Следствие 1. 
.
Следствие 2. 
и 
.
Свойство 3. 
и 
.
Доказательство следует из коммутативности операции умножения и свойств делимости.
Свойство 4. 
.
Доказательство. Обозначим d1=НОД(НОД(a,b),c). Так как d1 является общим делителем НОД(a,b)иc, то d1 – общий делитель и для элементов a,bи c. Верно и обратно: любой общий делитель этих трех элементов является общим делителем для НОД(a,b)иc. Аналогичным свойством обладает и элемент d2=НОД(a, (НОД(b,c)). Тогда элементы d1 и d2 делят друг друга. По свойству антисимметричности делимости получаем d1=d2.
Свойство 5. 
.
Доказательство. Обозначим k1=НОК(НОК(a,b),c). Так как k1 является общим кратным элементов НОК(a,b)иc, то k1 – общее кратное и для элементов a,bи c. Верно и обратно: любое общее кратное этих трех элементов является общим кратным для НОК(a,b)иc. Аналогичным свойством обладает и элемент k2=НОК(НОК(a,b),c). Тогда элементы k1 и k2 делят друг друга. По свойству антисимметричности делимости получаем k1=k2.
Свойство 6. Если элементы аиb не взаимно просты, то а и b имеют общий делитель, не равный 1.
Доказательство. По условию НОД(a,b)=d¹1. Тогда по определению d и есть не равный единице общий делитель а и b.
Свойство 7. 
= 
.
Доказательство. Обозначим d=НОД(a,b). По свойству (6) делимости элемент сdделит любой общий делитель элементов ас и bс, следовательно, является их НОД. Свойство доказано.
Свойство 8. Если 
, то 
.
Доказательство. Из условия следует, что d делит любой общий делитель элементов а и bи 
. Тогда по свойству (6) делимости элемент
делит любой общий делитель элементов 
, следовательно, является их НОД. Свойство доказано.Свойство 9. Если 
и 
, то 
.
Доказательство. Пусть НОД
и НОД(а,b) = 1, тогда среди делителей элементов b и с нет делителей элемента а. Следовательно, и среди делителей элемента bc нет делителей элемента а, что и означает, что .Свойство 10. Если , то 
для любых 
N.
Доказательство. Докажем, что 
методом математической индукции. Пусть m = 1, тогда 
по условию, т.е. база индукции верна. Предположим, что 
для всех k < m. Покажем, что при k = m. 
по свойству (10) для с = b. Отсюда, для всех 
N. 
по свойству 3 делимости. Аналогичными рассуждениями получаем 
для любого 
N. Следовательно, .
Свойство 11. Если 
, то 
для любого 
.
Доказательство. Пусть 
, тогда а = sd и c = td для некоторых s,t
S таких, что НОД(s,t) = 1. Поскольку , то НОД(s,b) = 1 и по свойству 9 НОД(s,tb) = 1. Следовательно, 
. Свойство доказано.Свойство 12. Существование НОК(a,b) влечет существование НОД(a,b) и равенство НОД(a,b) НОК(a,b) = ab.