Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел (стр. 6 из 6)
Следовательно, числа
N 
из 
образуют плотное подмножество в [0,1]. Если S 
, то получаем случай 5. Если же S 
, то по лемме 9 получаем случай 6. Предложение доказано.Предложение 5.Любая полугруппа S со свойством (**) относится к одному из следующих классов:
1. S = R+.
2. S = {rn | nÎN}
, где 
.3. S={rn| n 
Z}
, где .4. S\{0} – нульмерное плотное подпространство в [1,
).5. S – нульмерное плотное подпространство в R+.
6. S={0,1}.
7.
È[1,+¥).Доказательство. Пусть
связно. Поскольку полугруппа [0,1] не обладает свойством (**), то по лемме 1 получаем S=R+.Очевидно,
является полугруппой со свойством (**).Пусть далее
несвязно и 
. Тогда нульмерно по предложению 2.Пусть
замкнуто и 
Æ. Если в нет элемента, большего 1, то 
. Пусть 
(1,+¥)¹Æ. Докажем, что точка 1 изолирована в . Допустим, что это не так. Тогда в существует строго убывающая 
последовательность, сходящаяся к 1. Так как замкнуто и несвязно, то в [1,+¥) есть такие элементы 
, что 
. В то же время строго убывающая последовательность 
элементов из сходится к числу 
, следовательно, ее члены, начиная с некоторого номера, попадают в интервал 
. Получили противоречие. Следовательно, 1 является изолированной точкой в . Обозначим 
. Тогда и поскольку замкнуто, то 
. Возьмем произвольный элемент 
из . Для него 
при некотором 
N. По свойству (**) получаем 
и 
. Поскольку 
, то 
. В этом случае 
N 
.Пусть
замкнуто и 
Æ. Как и выше, доказывается, что 1 – изолированная точка. Обозначим и 
. Тогда , 
. Так как замкнуто, то 
. Из свойства (**) следует, что 
. Из неравенства 
по доказанному выше получаем: 
для некоторого натурального N. Поскольку 
, то 
. В этом случае Z .Пусть
не замкнуто и Æ. Тогда существует монотонная последовательность чисел 
, сходящаяся к некоторому 
. Пусть 
, если последовательность элементов 
убывает, и 
, если она возрастает. Тогда 
для всех Nи 
при 
. Возьмем произвольное число 
. Для каждого N найдется такое 
N, что 
. Тогда имеем 
и 
.Следовательно, числа
N из образуют плотное подмножество в [1,+ ¥) (случай 4).Если
не замкнуто и Æ, то аналогичные рассуждения показывают, что S – плотное подпространство в R+.Следствие 1.Любая полугруппа S, обладающая свойствами (*) и (**) относится к одному из следующих классов:
1. S = R+.
2. S – нульмерное плотное подпространство в R+.
3. S={0,1}.
Библиографический список
1. Варанкина, В.И., Полукольца непрерывных неотрицательных функций: делимость, идеалы и конгруэнции [Текст] // В. И. Варанкина, Е. М. Вечтомов, И. А. Семенова / Фундаментальная и прикладная математика. 1998. Т. 4. № 2. С 493-510.
2. Курош, А.Г. Лекции по общей алгебре [Текст] / А. Г. Курош. – М.: Наука, 1973.