Мультипликативные полугруппы неотрицательных действительных чисел (стр. 4 из 6)

Лемма 4.Пусть S – НОД-полугруппа и пространство S несвязно. Тогда:

1) (0,с)

S для любого

,

2) если

, то и для любого

.

Доказательство. 1) Если в интервале (0,1) нет элементов из S, то заключение очевидно. Пусть (0,1)ÇS¹Æ.Предположим, что (0,c)

S для некоторого

. Не теряя общности, будем считать, что

. Так как S несвязно, то по лемме 2 существует s

[0, 1]\S. Возьмем в S ненулевой элемент и положим b=as

S. Пусть d=НОД(a,b). Поскольку 0<s<1, то sⁿ 0 при n

. Тогда s^N< cдля некоторого натурального N, и, значит, s^N S. По свойству 8, пункт (3), НОД(a/d, b/d)=1. Поскольку b/d:a/d=s S, то элемент a/dнеобратим в S. Очевидно, необратимым является и (a/d)^N. По свойству 11, пункт (5), имеем НОД((a/d)^N, (b/d)^N)=1. Из (b/d)^N:((a/d)^N=s^N S следует, что НОД((a/d)^N, (b/d)^N)=(a/d)^N. Значит, элемент (a/d)^N ассоциирован с 1, т. е. обратим. Получили противоречие. Следовательно, (0, с) S для любого .

2) Если

, то заключение справедливо. Пусть и . Тогда по лемме 3 существует s

. Предположим, что для некоторого с >1. Возьмем в S элемент и положим b=as

S. Поскольку s>1, то sⁿ +¥ при n

. Следовательно, s^N>cдля некоторого натурального N, и, значит, s^N S. Повторяя рассуждения, проведенные выше, заключаем: для любого

.

Предложение 2.Пусть S – НОД-полугруппа. Если пространство S несвязно и

, то S нульмерно.

Доказательство. Докажем, что при выполненных условиях в любом интервале

, где , есть точки, не принадлежащие S. Доказывая от противного, предположим, что [a,b] S для некоторых . Возможны два случая.

Случай 1. Пусть 0<a<

. Докажем, что найдется n₀ N, для которого a

b

. В самом деле, допуская, что b

<a

для всех n N и, переходя в неравенстве b

<a к пределу при n

, получили бы b

a<b. Откуда b

>a

для всех натуральных n>n₀. Тогда что невозможно по лемме 4.

Случай 2. Пусть

. Возьмем такое число с > a, чтобы 1<c<b. Рассуждая, как и в случае 1, получаем c

b

для некоторого n₀ N. Тогда что также невозможно по лемме 4.

Докажем, что Sнульмерно. Пусть V – произвольное открытое множество в S и

. Требуется показать, что существует такое открыто-замкнутое в S множество U, что . Поскольку топология в S индуцируется топологией числовой прямой, то существуют такие числа a иb

, что . Если , то это и есть открыто-замкнутое множество U. Пусть левее s в интервале нет точек множества S, а правее – есть, и точка с - одна из них. По доказанному выше существует точка , такая, что . В этом случае – искомое открыто-замкнутое множество U. Аналогично рассматривается случай, когда левее точки s в интервале есть точки множества S, а правее нет, и случай, когда интервал содержит точки из Sи справа и слева от s. Предложение доказано.