Геометрии Галилея и Минковского как описания пространства-времени (стр. 4 из 14)
Однако у мнимых чисел есть та важная, общая с иррациональными числами черта, что в некоторых случаях операции над символом iy, который не выражает вещественного числа, приводят все-таки к вещественным числам. Это, прежде всего операция возведения любого мнимого числа в квадрат:
. (2.5)И более сложные выражения, составленные из мнимых величин, могут сводиться к функциям вещественного аргумента, принимающим вещественное значение. Например, если с учетом (2.5) сложить два бесконечных степенных ряда
,то получится ряд, состоящий только из вещественных членов, сходящийся к функции 2 cos у:
По мере того как углублялось исследование мнимых чисел и функций от мнимого аргумента, раскрывалась их важная роль в решении коренных теоретических проблем математики, а также прикладных задач. Все настоятельнее пробивало себе дорогу убеждение в противоестественности отношения к мнимому числу как к не реальному, «потустороннему» математическому объекту.
Даже в простейших задачах можно усмотреть признаки того, что мнимое число в органическом единстве с числом вещественным представляет некий аспект более глубокого и совершенного понятия числа.
Рассмотрим проблему существования решений некоторых квадратных уравнений. Если в уравнении
(2.6)дискриминант
отрицателен, то в множестве вещественных чисел R не найдется корней этого уравнения. В общем случае их нет и среди мнимых чисел, а лишь специфическое сочетание вещественных и мнимых чисел позволяет дать выражение корню. Например, применяя формулу решения квадратных уравнений 
(2.7)к уравнению
(2.8)получим
(2.1.9)Подставляя любое из этих выражений в уравнение (2.8) и выполняя действия обычным образом с учетом (2.5), придем к верным числовым равенствам:
Таким образом, есть основания считать выражения 2+3i и 2–3i корнями уравнения (2.8), хотя и нелегко понять, что они означают.
Операция сложения применяется в математике для весьма разнообразных классов объектов: вещественных чисел, векторов, матриц, операторов и т.д., но в каждом случае в роли слагаемых и суммы выступают элементы одинаковой природы. Не так получается с корнями уравнения (2.8). По смыслу общей формулы корней квадратного уравнения, каждый корень является суммой двух членов. Но если дискриминант отрицателен, второй член оказывается мнимым числом, тогда как первый член – число вещественное. Непонятно, как можно складывать столь различные объекты и что представляет собой их сумма, не являющаяся ни вещественным, ни мнимым числом. Впрочем, именно эта непонятная сумма и дает ключ к решению проблемы. Во-первых, с ней необходимо считаться, поскольку она выражает корни квадратного уравнения. Во-вторых, она объединяет в себе оба типа чисел – и вещественные, и мнимые. Так, может быть на вещественные и мнимые числа и следует смотреть как на составные части более сложного числового объекта? В отрыве друг от друга каждая из них имеет лишь ограниченное применение, а в едином комплексе они образуют более полноценное понятие числа. Если в таком комплексном числе мнимая составляющая равна нулю, мы воспринимаем число как вещественное, а если нулю равна вещественная составляющая, то мы воспринимаем комплексное число как мнимое. При сложении комплексных чисел отдельно складываются их вещественные компоненты и мнимые. Исторически сложился обычай обозначать мнимую компоненту с помощью множителя
. При такой трактовке проблемы мы получаем вместо бессмысленного сложения вещественного числа мнимым сложение двух комплексных чисел (объектов одинаковой природы) и в качестве суммы их – тоже комплексное число: 
В записи комплексного числа знак плюс (минус) перед мнимой компонентой отнюдь не означает, что не нужно прибавлять (вычитать) к вещественной компоненте. Просто это собственный знак мнимой компоненты, которая может быть положительной или отрицательной. Чтобы избавиться от иллюзии, будто вещественная и мнимая компоненты комплексного числа складываются, можно записывать их, разделяя точкой с запятой. Заодно можно отказаться и от символического множителя
при мнимой компоненте. Достаточным признаком различий вещественной и мнимой составляющих послужит их paс положение в записи комплексного числа – на первом месте вещественная, а на втором мнимая. 
(2.10)Именно такая форма записи принята в современной теории комплексных чисел, хотя в практике вычислений сохраняется и исторически сложившаяся алгебраически форма
. Если требуется указать комплексное число как единый объект, не различая в нем вещественную и мнимую компоненты, то пользуются однобуквенным обозначением 
(2.11)Запишем в этих обозначениях правило сложения комплексных чисел:
(2.12)Когда мы убеждались в том, что комплексные числа
и 
являются корнями квадратного уравнения (2.8), то перемножали комплексные числа (возводили в квадрат) по обычному правилу умножения многочленов с учетом соотношения 
. В общем виде это выглядит так: 
Если же записывать комплексные числа не в алгебраической форме, а в виде упорядоченных пар чисел, то правило умножения примет вид
(2.13)Это выражение нетрудно запомнить в следующей формулировке: первая компонента произведения равна разности произведений предшествующих членов
комплексных сомножителей, записанных рядом, и последующих их членов 
, а вторая компонента равна сумме произведений внешних членов 
и внутренних 
.Мы описали подход к понятию комплексного числа и арифметическим действиям с комплексными числами в качестве догадки, которая возникает при рассмотрении частной задачи решения квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом. В определение комплексных чисел органически включается определение операций над ними: комплексные числа z представляют собой упорядоченные пары вещественных чисел
, которые складываются по правилу (2.12) и перемножаются по правилу (2.13). Множество комплексных чисел принято обозначать буквой С.Операции вычитания и деления комплексных чисел определяются как обратные операциям сложения и умножения. Разностью чисел
и 
называется такое комплексное число z, которое удовлетворяет соотношению 
Отсюда следует
(2.14)Частным от деления
на 
, 
, называется такое комплексное число z, которое удовлетворяет соотношению 
. Из этого условия нетрудно найти 
(2.15)Исходя из определения комплексных чисел и операций над ними, убедимся в том, что комплексные числа, у которых вторая компонента равна нулю, ведут себя в операциях так же, как вещественные числа:
