О теории вероятностей (стр. 3 из 9)
Пусть X1, Х2,..., Хn одинаково распределенные, взаимонезависимые ДСВ, тогда:
M(X1) = М(Х2) = ... = М(Хn) = М(Х), D(X1) = D(X2) = ...= D(Xn)=D(X).
Рассмотрим характеристики их средней арифметической X = (X1+X2+…+Xn)/n:
-стандартное отклонение СВ X.
Дисперсия относительной частоты (m/n) появления события А в n независимых испытаниях (в каждом из которых событие А появляется с вероятностью равной р, и не появляется с вероятностью q= 1-р; m-число появлений события А в серии из n испытаний), определяется по формуле
15. Дифференциальная функция распределения и ее свойства
СВ X непрерывна, если ее интегральная функция непрерывна на всей числовой оси. СВ X непрерывна и имеет дифференциальную функцию, если ее интегральная функция непрерывна и дифференцируема всюду, за исключением конечного числа точек на любом конечном промежутке.
Дифференциальной функцией (функцией плотности вероятности) СВ X называется производная ее функции распределения: f(x)=F'(x).
С помощью дифференциальной функции можно получить формулу вероятности попадания СВ X в заданный интервал:
Свойства дифференциальной функции:
). f(x)≥0;
16. Числовые характеристики непрерывных случайных величин
1) Математическое ожидание НСВ X определяется по формуле
М(Х)= ∫xf(x)dx. (2.7.1)
Если НСВ X определена на интервале (а; b), то
М(Х)= ∫xf(x)dx.
2) Мода НСВ X будет определяться как максимум ее дифференциальной функции: Мо(Х) = max f (x).
3) Медиана определяется как значение случайной величины, которое делит площадь под дифференциальной функцией на две равные части. Me(X): P(x<Me(X))=P(x>Me(X))=1/2.
4). Дисперсия НВС
Все св-ва дисперсии и мат-го ожидания, установленные для ДСВ, сохраняется для НСВ.
Замечание. Если распределение симметрично, то его мода, медиана и математическое ожидание совпадают.
5). Моменты случайных величин.
Кроме характеристик положения и рассеяния существует ряд других числовых характеристик распределения, например, моменты.
Начальным моментом порядка s называется математическое ожидание степени s CB X: αs=M(Xs).
Для ДСВ:
При s=l:α1, = M(X) = mx, то есть, первый начальный момент - это математическое ожидание СВ.
Отклонение СВ от ее математического ожидания называется центрированной СВ X: X = Х-mх.
Центральным моментом порядка s СВ X называется математическое ожидание степени s, соответствующей центрированной СВ: μs=μ(Xs)=M((x-M(X))s).
При вычислении центральных моментов пользуются формулами связи между центральными и начальными моментами:
μ1=0,
μ2=α2-m2x,
μ3=α3-3mxα2+2m3x,
μ4=α4-4mxα3+6m2xα2-3m4x.
Обычно рассматривают первые четыре центральных момента:
1). μ1=M(x-mx)=0 – мат-ое ожидание центрированной СВ равно нулю;
2). μ2= M(x-mx)2=D(X) – второй центральный момент – это дисперсия;
3). μ3= M(x-mx)3- третий центральный момент может служить для характеристики асимметрии, обычно рассматривают безразмерный коэффициент асимметрии
Sk=μ3/σ3.
4). Четвёртый центральный момент
μ4=M(x-mx)4,
может служить для характеристики “крутости” или островершинности распределения, описывающиеся с помощью эксцесса:
Ex=(μ4/σ4)-3.
Основным моментом порядка s называется нормированный центральный момент порядка s:
rs= μs/σs, то есть Sk=r3, Ex=r4-3
17. Равномерный закон распределения
СВ X распределена по равномерному (прямоугольному) закону, если все значения СВ лежат внутри некоторого интервала и все они равновероятны (точнее обладают одной плотностью вероятности).Например, если весы имеют точность 1г и полученное значение округляется до ближайшего целого числа k, то точный вес можно считать равномерно распределенной СВ на интервале (k-0,5; k+0,5).
Дифференциальная функция равномерного закона на интервале (α,β) (рис. 11):
Интегральная функция равномерного закона на интервале (α,β) (рис. 11):
Рис. Дифференциальная функция
2). Интегральная функция.
Основные числовые характеристики равномерного закона:
1. Математическое ожидание
М(Х) совпадает, в силу симметрии распределения, с медианой.
Моды равномерное распределение не имеет.
Дисперсия
Отсюда, среднее квадратическое отклонение
Третий центральный момент
поэтому распределение симметрично относительно М(Х).
Четвёртый центральный момент
Вероятность попадания СВ в заданный интервал (а;b). Пусть СВ X распределена по равномерному закону,
18. Закон больших чисел
Под законом больших чисел в теории вероятностей понимают совокупность теорем, в которых утверждается, что существует связь между средним арифметическим достаточно большого числа случайных величин и средним арифметическим их математических ожиданий.
В1927 г. Гейзенберг открыл принцип неопределенности, который утверждает, что измерительное познание ограничено. Неопределенность является неотъемлемой частью нашей жизни, однако, при большом числе однотипных опытов можно установить определенные закономерности.
19. Нормальный закон распределения
Нормальный закон распределения играет исключительную роль в теории вероятностей. Это наиболее часто встречающийся закон распределения, главной особенностью которого является то, что он является предельным законом, к которому, при определённых условиях, приближаются другие законы распределения.
Дифференциальная функция нормального закона имеет вид
Числовые характеристики нормального закона:
1. Математическое ожидание характеризует центр распределения
где ex=exp(x);
2. Дисперсия характеризует форму распределения
Свойства дифференциальной функции нормального закона:
1. Область определения: Df = R;
2. Ось ОХ - горизонтальная асимптота;
3. х = а±σ - две точки перегиба;
4. Максимум в точке с координатами (а; 1/(σ√2π);
5. График симметричен относительно прямой х=а;
6. Моменты:
μ1=μ3=…=μ2k+1=…=0,
μ2=σ2, μ4=3σ4,
Sk=μ3/σ3=0, Ex=μ4/σ4-3=0
7. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал определяется, по свойству интегральной функции
где
интегральная функция нормального закона (рис.14); Ф(х)- функция Лапласа.
Свойства интегральной функции нормального закона:
1. Ф* (-∞)=0;
2. Ф*(+)=1;
3. Ф*(x)=1/2+Ф(x);
4. Ф*(-x)=1-Ф*(x).
Вероятность заданного отклонения. Правило трех сигм.
Найдем вероятность того, что случайная величина X, распределённая по нормальному закону, отклонится от математического ожидания М(Х)=а не более чем на величину ε>0.
Р(|х-а|<ε)= Р(-ε< х-а<+ε) = Р(а-ε<х< а+е) =Ф*((a+ε-a)/σ)-Ф*((a-ε-a)/σ)=Ф*(ε/σ)-(1-Ф* (ε/σ))=2Ф* (ε/σ)-1.
Или, используя функцию Лапласа:
P(|X-a|<ε)=2Ф(ε/σ).
Найдём вероятность того, что нормально распределённая СВ X отклонится от M(X)=a на σ, 2σ, 3σ:
Отсюда следует правило Зσ. если случайная величина X имеет нормальное распределение, то отклонение этой случайной величины от ее математического ожидания по абсолютной величине не превышает утроенное среднее квадратическое отклонение (Зσ).
20. Многомерные случайные величины
В практических задачах приходится сталкиваться со случаями, когда результат описывается двумя и более случайными величинами, образующими систему случайных величин (случайный вектор). Например, точка попадания снаряда имеет две координаты: х и у, которые можно принять за систему случайных величин, определенных на одном и том же пространстве элементарных событий Ω.