О теории вероятностей (стр. 5 из 9)

4).Серийная - отбор проводится не по одному элементу, а сериями для проведения сплошного обследования.

5). Комбинированная - используются различные комбинации вышеуказанных методов, например, типическая выборка сочетается с механической и собственно случайной.

После осуществления выборки возникает задача оценки числовых характеристик генеральной совокупности по элементам выборочной совокупности. Различают точечные и интервальные оценки.

27. Специальные законы распределения

1. х² -распределение Пирсона. Пусть X₁, X₂, ...,Х_n одинаково распределенные по нормальному закону случайные величины, являющиеся взаимно-независимыми, для которых математическое ожидание равно нулю, а среднеквадратическое отклонение 1, тогда сумма квадратов этих случайных величин носит название случайной величины х² - xu-квадрат с v=n степенями свободы:

При v=l (учитывая дифференциальная функция:

Дифференциальная функция распределения χ² с v=n степенями свободы задается формулой

где Г(х) - гамма, функция Эйлера.

при R₊; если n Z, то Г(n+ 1)=n!

С возрастанием числа степеней свободы v = n, распределение χ² медленно приближается к нормальному закону распределения. На практике используют обычно не плотность вероятности, а квантили распределения.

Квантилью χ²_n распределения, отвечающей заданному уровню значимости α (альфа) – χ²_α,ν , называется такое значение χ²⁼ χ²_α,ν, при котором вероятность того, что χ² превысит значение χ²_α,ν, равна α:

Рис. Дифференциальная функция распределения χ ² с ν степенями свободы.

С геометрической точки зрения нахождение квантили заключается в выборе такого значения Х²⁼ 5C_a v при котором площадь криволинейной трапеции ограниченной дифференциальной функцией была бы равна а. Значения квантилей затабулированы. При n>30 распределение практически не отличается от нормального.

Замечание. Квантиль СВ X порядка a - это такое значение СВ X, что F(x_a) = а, где F(x)=P(X<x). Например, медиана – это квантиль x_0.5.

2. t- распределение Стъюдента. Это распределение имеет важное значение при статистических вычислениях, связанных с нормальным законом, распределения, где a - неизвестный параметр распределения и подлежит определению из опытных данных, например, при статистической обработке наблюдений с неизвестной точностью.

Пусть X, X,, X₂,...,X_k независимые нормально распределённые случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями и одинаковыми дисперсиями. Безразмерная величина

называется дробью Стьюдента.

Ее распределение не зависит от а в силу ее безразмерности. Дифференциальная функция t-распределения с v=k степенями свободы имеет вид

t - распределение Стьюдента быстрее, чем х² стремится к нормальному.

На практике используют квантили распределения в зависимости от числа степеней свободы и уровня значимости α.

С геометрической точки зрения нахождение квантилей (для двусторонней области) заключается в выборе такого значения t, при котором суммарная площадь криволинейной трапеции была бы равна α, в силу симметрии распределения:

F-распределение Фишера-Снедекора.

Пусть Х₁, X₂, ...,X_m и Y₁, Y₂, ...,Y_n одинаково распределенные по нормальному закону случайные величины, являющиеся взаимно-независимыми, для которых математическое ожидание равно нулю, а среднеквадратическое отклонение равно единице.

Рассмотрим дробь Фишера F(m,n)=(χ²_m/m)/(χ²_n/n), она имеет F - распределение с v₁= m - числом степеней свободы числителя, и v₂=n - числом степеней свободы знаменателя ((m, n) степенями свободы), которое называется распределением Фишера-Снедекора. Обычно используют квантили распределения в зависимости от числа степеней свободы (m, n) и уровня значимости а:

Рис. Дифференциальная функция F распределения Фишера -Снедекора с v₁=5, v₂=50 степенями свободы

Для квантилей распределения Фишера-Снедекора геометрический смысл аналогичен другим распределениям (рис.23). Имеет место равенство

Распределения χ² - Пирсона, t - Стьюдента, F -Фишера-Снедекора нашли широкое применение в математической статистике, в частности при проверке статистических гипотез и в дисперсионном анализе.

28. Особенности статистического анализа количественных и качественных показателей

Методы шкалирования при обработке качественных признаков.

Основной задачей статистического анализа является оценка связи признаков м/у собой. Необходимо измерить признаки, в гуманитарных исследованиях более сложны, т.к. они касаются измерения не только количественных, но и качественных признаков.

Суть статистических методов – анализ чисел как таковых, а не истинных значений некоторого признака.

Если количественные показатели можно, то для качественных показателей можно экспертным путем оценить степень сходства или различия м/у парами объектов.

Объекты отражают в некотором многомерном пространстве, где каждая точка – это объект, а координаты – признаки.

Для этого используют методы многомерного шкалирования.

- матрица парных расстояний (количественный признак)

- матрица парных отклонений (качественный признак)

По матрицам изучается степень сходства и различия.

29. Неравенство Чебышева

Рассмотрим закон больших чисел в форме Чебышева.

Лемма Чебышева (Маркова). Если случайная величина X принимает только неотрицательные значения и имеет математическое ожидание М(Х), то для любого α>0 имеет место неравенство: P(X≥α)≤(M(X))/α.

Неравенство Чебышева. Если случайная величина X имеет математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(X), то для любого ε>0 имеет место неравенство:

Неравенство Чебышева является в теории вероятностей общим фактом и позволяет оценить нижнюю границу вероятности.

Теорема. Закон больших чисел Чебышева. Пусть Х₁, Х₂, .. .,Х_n - последовательность попарно независимых случайных величин, имеющих конечные математические ожидания и дисперсии, ограниченные сверху постоянной С = const (D(X_i)≤C(i=l, 2,...,n)). Тогда для любого ε>0,

Теорема показывает, что среднее арифметическое большого числа случайных величин с вероятностью сколь угодно близкой к 1 будет мало отклоняться от среднего арифметического математических ожиданий.

Следствие 1. Если вероятность наступления события А в каждом из n независимых испытаний равна р, m - число наступлений события А в серии из n независимых испытаний, то, каково бы ни было число е > 0, имеет место предел:

Таким образом устанавливается связь между относительной частотой появления события А и постоянной вероятностью р в серии из n независимых испытаний.

Следствие 2. Теорема Пуассона. Если в последовательности независимых испытаний вероятность появления события А в к-ом испытании равна р, то

где m - число появлений события А в серии из n испытаний.

Следствие 3. Теорема Бернулли. Если X₁, Х₂,.. .,Х_n - последовательность независимых случайных величин таких, что

М(Х₁) = М(Х₂)=...= М(Х_n) = а, D(Х₁)< С, D(X₂) < С,.. .,D(X_n)< С, где С = const

то, каково бы ни было постоянное число ε>0, имеет место предел:

Этот частный случай закона больших чисел позволяет обосновать правило средней арифметической.

Законы больших чисел не позволяют уменьшить неопределённость в каждом конкретном случае, они утверждают лишь о существовании закономерности при достаточно большом числе опытов. Например, если при подбрасывании монеты 10 раз появился герб, то это не означает, что в 11 раз появится цифра.

30. Центральная предельная теорема

В теории вероятностей и математической статистике большое значение имеет центральная предельная теорема Ляпунова, в которой утверждается, что если сложить большое число случайных величин, имеющих один или различные законы распределения, то случайная величина, являющаяся результатом суммы, при некоторых условиях, будет иметь нормальный закон распределения.

Примером центральной предельной теоремы (для последовательности независимых случайных величин) является интегральная теорема Муавра-Лапласа.

Теорема 1. Пусть производится n независимых опытов в каждом из которых вероятность наступления события А равна р (не наступления q=l-p, p≠0, р≠1). Если К - число появлений события А в серии из n испытаний, то при достаточно больших n СВ К можно считать нормально распределенной (М(К)=nр, σ(К)=√D(K)= √npq).