О теории вероятностей (стр. 8 из 9)

Важным частным случаем стохастической зависимость является корреляционная. Корреляционная зависимость м/у переменными величинами – это та функциональная зависимость, которая существует м/у значениями одной из них и групповыми средними другой. (Корреляционные зависимости Y на Х и Х на Y обычно не совпадают). Корреляционная связь чаще всего характеризуется выборочным коэффициентом корреляции r, который характеризует степень линейной функциональной зависимости м/у CB X и Y. Для двух СВ Х и Y коэффициент корреляции имеет => св-ва:

1. -1≤r≤1;

2. если r=+ 1, то м/у СВ Х и Y существует функциональная линейная зависимость;

3. если r=0, то СВ Х и Y некоррелированны, что не означает независимости вообще;

4. если Х и Y образуют систему нормально распределенных СВ, то из их некоррелированности => их независимость.

Коэффициенты корреляции Y на Х и Х на Y совпадают.

Корреляция используется для количественной оценки взаимосвязи двух наборов данных с помощью коэффициента корреляции. Коэффициент корреляции выборки представляет собой ковариацию двух наборов данных, деленную на произведение их стандартных отклонений.

44. Критерий согласия

Проверка гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения производится так же, как и проверка гипотезы о параметрах распределения, т. е. при помощи специально подобранной случайной величины — критерия согласия.

Критерием согласия называют критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения.

Имеется несколько критериев согласия: χ² («хи квадрат») К. Пирсона, Колмогорова, Смирнова и др.

Ограничимся описанием применения критерия Пирсона к проверке гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности (критерий аналогично применяется и для других распределений, в этом состоит его достоинство). С этой целью будем сравнивать эмпирические (наблюдаемые) и теоретические (вычисленные в предположении нормального распределения) частоты. Обычно эмпирические и теоретические частоты различаются.

Случайно ли расхождение частот? Возможно, что расхождение случайно и объясняется малым числом; наблюдений, либо способом их группировки, либо другими причинами. Возможно, что расхождение частот неслучайно (значимо) и объясняется тем, что теоретические частоты вычислены, исходя из неверной гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности. Критерий Пирсона отвечает на поставленный выше вопрос. Правда, как и любой критерий, он не доказывает справедливость гипотезы, а лишь устанавливает, на принятом уровне значимости, ее согласие или несогласие с данными наблюдений.

Итак, пусть по выборке объема п получено эмпирическое распределение:

варианты x_l, x₁, x₂ ... x_s,

эмп. частоты n_i n₁ п₂ ... n_s.

Допустим, что в предположении нормального распределения генеральной совокупности, вычислены теоретические частоты п. При уровне значимости α, требуется проверить нулевую гипотезу; генеральная совокупность распределена нормально.

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем случайную величину

(*)

Эта величина случайная, так как в различных опытах она принимает различные, заранее неизвестные значения. Ясно, что чем меньше различаются эмпирические и теоретические частоты, тем меньше величина критерия (*) и, следовательно, он в известной степени характеризует близость эмпирического и теоретического распределений.

Заметим, что возведением в квадрат разностей частот устраняют возможность взаимного погашения положительных и отрицательных разностей. Делением на n^’_i достигают уменьшения каждого из слагаемых; в противном случае сумма была бы настолько велика, что приводила бы к отклонению нулевой гипотезы даже и тогда, когда она справедлива. Разумеется, приведенные соображения не являются обоснованием выбранного критерия, а лишь пояснением.

Доказано, что при n→∞ закон распределения случайной величины (*), независимо от того, какому закону распределения подчинена генеральная совокупность, стремится к закону распределения χ² с k степенями свободы. Поэтому случайная величина (*) обозначена через χ², а сам критерий называют критерием согласия «хи квадрат».

Число степеней свободы находят по равенству

k=s-1-r

где s — число групп выборки; r — число параметров предполагаемого распределения, которые оценены по данным выборки.

В частности, если предполагаемое распределение — нормальное, то оценивают два параметра (математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение) поэтому r=2 и число степеней свободы

k=s-1-r=s-1-2-s-3.

Если, например, предполагают, что генеральная совокупность распределена по закону Пуассона, то оценивают один параметр X, поэтому r=1 и k=s-2.

Поскольку односторонний критерий более «жестко» отвергает нулевую гипотезу, чем двусторонний, построим правостороннюю критическую область, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область, в предположении справедливости нулевой гипотезы, была равна принятому уровню значимости α:

Т.о., правосторонняя критическая область определяется неравенством

а область принятия нулевой гипотезы — неравенством

Обозначим значение критерия, вычисленное по данным наблюдений, через χ²_набл и сформулируем правило проверки нулевой гипотезы.

Правило. Для того чтобы, при заданном уровне значимости, проверить нулевую гипотезу H₀: генеральная совокупность распределена нормально, надо сначала вычислить теоретические частоты, а затем наблюдаемое значение критерия

(**)

и по таблице критических точек распределения χ², по заданному уровню значимости α, и числу степеней свободы k=s-3, найти критическую точку χ² (α; k).

Если χ²_набл<χ²_кр – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если χ²_набл >χ²_кр — нулевую гипотезу отвергают.

Замечание 1. Объем выборки должен быть достаточно велик, во всяком случае не менее 50. Каждая группа должна содержать не менее 5—8 вариант; малочисленные группы следует объединять в одну, суммируя частоты.

Замечание 2. Поскольку возможны ошибки первого и второго рода, в особенности, если согласование теоретических и эмпирических частот «слишком хорошее», следует проявлять осторожность.

Замечание 3. В целях контроля вычислений, формулу (**) преобразуют к виду

45. Понятие и модели дисперсионного анализа

Дисперсионный анализ позволяет ответить на вопрос о наличии существенного влияния некоторых факторов на изменчивость фактора, значения которого могут быть получены в результате опыта. При проверке статистических гипотез предполагается случайность вариации изучаемых факторов. В дисперсионном анализе один или несколько факторов изменяются заданным образом, причем, эти изменения могут влиять на результаты наблюдений. Исследование такого влияния и является целью дисперсионного анализа.

Идея дисперсионного анализа заключается в том, что основная дисперсия разлагается в сумму составляющих ее дисперсий, каждое слагаемое которой соответствует действию определенного источника изменчивости. Например, в двухфакторном анализе мы получим разложение вида:

s_С²=s_А²+s_В²+s_АВ²+d_Z’²,

где

s_С² –общая дисперсия изучаемого признака С

s_А² –доля дисперсии, вызванная влиянием фактора А

s_В² - доля дисперсии, вызванная влиянием фактора В

s_АВ² - доля дисперсии, вызванная взаимодействием факторов А и В

d_Z’² –доля дисперсии, вызванная неучтенными случайными причинами (случайная дисперсия).

В дисперсионном анализе рассматривается гипотеза: Н₀ – ни один из рассматриваемых факторов не оказывает влияния на изменчивость признака. Значимость каждой из оценок дисперсии проверяется по величине ее отношения к оценке случайной дисперсии и сравнивается с соответствующим критическим значением, при уровне значимости a, с помощью таблиц критических значений F – распределения Фишера-Снедекора. Гипотеза Н₀ относительно того или иного источника изменчивости отвергается, если F_расч.> F_кр.

В дисперсионном анализе рассматриваются эксперименты трех видов:

А) эксперименты, в которых все факторы имеют систематические (фиксированные) уровни;

Б) эксперименты, в которых все факторы имеют случайные уровни;

В) эксперименты, в которых есть факторы, имеющие случайные уровни, а так же факторы, имеющие фиксированные уровни.

Все три случая соответствует трем моделям, которые рассматриваются в дисперсионном анализе.