Рішення рівнянь й нерівностей з модулем (стр. 10 из 16)

Відповідь.

, .

Переклад алгебраїчної задачі на геометричну мову -і- зручний і потужний метод рішення задач. У якості ще одного приклада розберемо блок задач олімпіади математико-механічного факультету Спбгу:

Приклад Даний функція:

.

а) Вирішите рівняння

;

б) Вирішите нерівність

;

в) Знайдіть кількість рішень рівняння

залежно від значень параметра .

Рішення. Побудуємо графік функції

. Для цього помітимо, що , а тоді ми можемо спочатку побудувати графіка функції , і потім відбити його щодо осі ординат. Перетворимо вираження, що задає функцію :

Оскільки дана система визначає верхнє півколо радіуса 2 із центром у крапці (2; 0), графік вихідної функції являє собою об'єднання двох півкіл (див. мал. (??)).

Тепер рішення задач не представляє праці:

а) Корінь рівняння є абсциса крапки перетинання прямій

із графіком функції . Знайдемо неї геометрично: заштрихований на малюнку прямокутний трикутник є рівнобедреним (кутовий коефіцієнт прямої дорівнює ), його гіпотенуза є радіус окружності, її довжина 2. Тоді довжина катета, що лежить на осі абсцис, є , а шукана абсциса дорівнює .

б) Нерівність

виконана при всіх з відрізка .

в) При

, рішень ні, при рівняння має три рішення, при --- чотири рішення, при --- два рішення.

Рішення рівнянь із використанням тотожності

Приклад Вирішити рівняння

Рішення. Двічі застосовуючи тотожність

, одержимо рівняння

рішенням якого є інтервал

.

Відповідь.

.

Приклад Вирішити рівняння

Рішення.

Відповідь.

.

Застосування теореми про знаки при рішенні рівнянь

Сформулюємо теорему, зручну при рішенні нерівностей, щодо добутків або приватних різниць модулів:

Теорема Знак різниці модулів двох виражень збігається зі знаком різниці квадратів цих виражень.

Приклад Вирішити нерівність

Рішення. Скористаємося теоремою:

Використовуючи формулу різниці квадратів, розкладемо чисельник і знаменник на множники й вирішимо отриману раціональну нерівність.

Відповідь.

Рішення рівнянь переходом до наслідку

Всі рівняння з модулями можуть бути вирішені в такий спосіб: розглянемо весь набір рівнянь, що може вийде при розкритті модулів, але не будемо виписувати відповідні проміжки. Вирішуючи кожне з отриманих рівнянь, одержимо наслідки вихідного рівняння. Залишається тільки перевірити чи не придбали ми сторонніх корінь прямої їхньою підстановкою у вихідне рівняння.

Приклад Вирішимо рівняння

Рішення. Послідовно переходячи до наслідків, одержуємо:

Неважко переконається, що знайдені числа не є коріннями вихідного рівняння.

Відповідь. ні рішення.

У випадку вкладених знаків модуля теж можна розглянути весь набір яких, що виходять при розкритті модуля рівнянь серед рішень, утримуються рішення вихідного рівняння, а потім відібрати із всіх отриманих рішень підходящі хоча б за допомогою перевірки.

Приклад Вирішите рівняння

Рішення. Всіх корінь вихідного рівняння втримуються серед корінь двох рівнянь

які можна переписати у вигляді

Аналогічно, кожне із цих рівнянь розпадається на два:

що приводить до чотирьох рівнянь:

Звідси одержуємо 4 рішення:

, , , серед яких утримуються коріння вихідного рівняння. 1-й корінь, мабуть, задовольняє рівнянню. Це перевіряється легко. 2-й і 3-й не походять, тому що права частина вихідного рівняння при цих значеннях негативна. 4-й корінь теж є зайвим, тому що цей корінь повинен задовольняти рівнянню (*), а при цьому значенні його права частина негативна.

Відповідь. 3.

Рішення рівнянь методом інтервалів

Застосування методу інтервалів засновано на наступної

Теорема Функція, безперервна на проміжку, зберігає на цьому проміжку свій знак.

Це означає, що нулі функції й границі проміжків її безперервності розділяють область визначення функції на ділянки, де вона зберігає постійний знак. Застосування методу пояснимо на прикладі.

Приклад Вирішимо нерівність

Нехай

. Областю визначення даної функції є . Вирішуючи рівняння (див. (??)), одержимо, що функція не звертається в нуль ні при якому значенні змінної. Це означає, що на всій області визначення функція є знакопостійної. Обчислюючи, наприклад, , одержуємо, що функція приймає тільки позитивні значення.