Рішення рівнянь й нерівностей з модулем (стр. 6 из 16)
Відповідь.
.Приклад При яких значеннях параметра
нерівність 
виконується при всіх значеннях
?Рішення. Вихідне рівняння рівносильне системі:
Виконання для всіх
вихідної нерівності рівносильне виконанню для всіх нерівностей останньої системи. А це рівносильне тому, що дискримінанти всіх чотирьох квадратних тричленів непозитивні: 
Відповідь.
.Приклад Знайти всі значення параметра
, при кожному з яких число цілозчисленних рішень нерівності 
максимально.
Рішення. Тому що
те вихідне рівняння рівносильне системі: 
Оскільки обоє нерівності в системі лінійні відносно
. Вирішимо систему відносно : 
(??)Умови існування параметра
рівносильне вимозі 
(??)Нерівність (??) повідомляє всі значення
, які можуть бути рішенням вихідної нерівності хоча б при одному значенні параметра. Отже, цілочисленими рішеннями вихідної нерівності можуть бути тільки цілі числа із проміжку 
, тобто 
(??)Природно, що для будь-якого цілого числа з набору (??) треба з'ясувати, при яких значеннях параметра
це число буде рішенням вихідної нерівності.Оскільки вихідна нерівність рівносильна (??), те по черзі підставляючи числа з набору (??) в нерівності (??), ми відразу й знайдемо всі відповідні значення параметра. Маємо
Щоб виявити значення параметра, при яких вихідна нерівність має максимальне число цілочисленних рішень, скористаємося ``розгорненням'', отриманої інформації уздовж від параметра (див. мал. (??)):
Очевидно, що максимальна кількість рішень дорівнює трьом, і це досягається, коли
або 
.Відповідь.
.Графічне рішення рівнянь і нерівностей з модулем
Рішення рівнянь, що містять знак абсолютної величини часто набагато зручніше вирішувати не аналітично, а графічно (особливо рівняння утримуючі параметри).
Побудова графіків виду
, 
і 
Відзначимо правило побудови графіка функції
.1) Будуємо спочатку графік функції
.2) Там, де графік функції
лежить вище осі 
або на ній, залишаємо його без зміни; крапки графіка, які лежать нижче осі , заміняємо симетричними їм щодо осі крапками.Для приклада, на малюнку (??) зображений графік функції
. 
Для побудови графіка функції
будуємо графік функції для 
й відображаємо симетрично щодо осі 
.Для приклада, на малюнку (??) зображений графік функції
.
Для побудови графіка функції
будуємо графік функції для 
й симетрично відображаємо щодо осі .Для приклада, на малюнку (??) зображений графік функції
. 
Приклад Побудувати графік функції
.Рішення. Скористаємося правилами перетворення графіків.
1. Графік функції
--- бісектриса перших і третього координатних кутів.2. Графік функції
виходить із графіка функції відображенням його частини, розташованої нижче осі абсцис (при 
) симетрично щодо осі абсцис.3. Графік функції
виходить із попереднім зрушенням уліво по осі абсцис на дві одиниці.4. Отриманий графік зрушуємо по осі ординат на 3 одиниці долілиць. Одержуємо графік функції
.5. Частина його, розташовану нижче осі абсцис, відображаємо симетрично щодо цієї осі. Отже, одержуємо графік даної функції
Досліджувана функція допускає іншу форму запису
Приклад Залежно від параметра
, знайти кількість рішень рівняння 
Рішення. Побудуємо графік функції
(див. мал). 
Залежно від положення прямої
, одержуємо наступне: при 
немає корінь, при 
--- нескінченно багато корінь, при 
--- чотири корені, при 
--- три корені, при 
--- два корені.Приклад Доведіть, що на графіку функції
можна відзначити таку крапку 
, а на графіку функції 
--- таку крапку 
, що відстань 
не перевищує 
.