Рішення рівнянь й нерівностей з модулем (стр. 13 из 16)
Приклад Для кожного значення параметра
визначите число рішень рівняння 
.Рішення.
1. Якщо
, тоді рівняння не має рішень, модуль будь-якого речовинного числа ненегативний.2. Якщо
, тоді одержимо рівняння 
. Це рівняння має два корені, тому що 
.3. Якщо
, тоді одержуємо сукупність двох рівнянь:
Перше рівняння має дискримінант:
. Воно не буде мати корінь при 
, 
, але це неможливо, тому що . Також воно не може мати один корінь (тоді 
, що також неможливо). Таким чином, при рівняння (1) має два корені.Друге рівняння має дискримінант:
.Воно не буде мати корінь, якщо
, 
, 
. Буде мати один корінь, якщо 
. Буде мати два корені, якщо 
.Остаточно одержуємо.
Відповідь. Якщо
, тоді рівняння не має корінь.Якщо
й , тоді рівняння має два корені.Якщо
, тоді рівняння має три корені.Якщо
, тоді рівняння має чотири корені.Приклад Знайдіть всі значення параметра
із проміжку 
, при кожному з яких більший з корінь рівняння 
приймає найбільше значення.Рішення.
Перетворимо рівняння до виду
.Виходить, якщо
, 
,тоді
.Знайдемо найбільше значення
, при якому 
, тобто найбільше рішення нерівності 
.Перетворимо цю нерівність:
, 
, 
, 
, 
.Останню нерівність вирішимо методом інтервалів, пам'ятаючи, що
.Рішення нерівності буде множина:
.Ясно, що дріб
приймає найбільше значення при
, тоді значення буде дорівнює:
.Відповідь. При
.Приклад Знайти всі значення параметра
, при кожному з яких рівняння 
має єдине рішення.Рішення.
Знайдемо рішення для кожного значення
, а потім відберемо ті, які задовольняють умові задачі, тобто при яких рівняння має єдине рішення.Для кожного фіксованого
будемо шукати рішення даного рівняння спочатку на проміжку 
, а потім на проміжку 
, оскільки модуль звертається в нуль при 
:1) Нехай
. На цьому проміжку 
й тому дане рівняння прикмет вид 
.Знайдемо дискримінант отриманого наведеного квадратного рівняння
, виходить, при будь-якому дійсному значенні рівняння має два різних дійсних корені: 
і 
.З'ясуємо, чи входять вони в проміжок
. Корінь лежить у цій області тільки тоді, коли виконується нерівність: 
або 
.Остання нерівність рівносильна системі нерівностей:
Остання система нерівностей не має рішень, виходить, ні при якому значенні параметра a число
не лежить в області .Корінь
лежить у розглянутій області тоді, коли виконана нерівність: 
або 
.Вирішимо останню нерівність. Ясно, що цій нерівності задовольняють всі значення
із проміжку .При
одержимо нерівність 
. Звідси знаходимо: 
.Таким чином, при
рівняння має єдине рішення .2) Нехай
. На цьому проміжку 
й тому вихідне рівняння можна переписати у вигляді 
. Знайдемо дискримінант цього рівняння: 
.Рівняння не має рішень, якщо
, тобто якщо 
.