Аналогія: теорема Піфагора на площині і в просторі (стр. 3 из 6)
Числа
і 
взаємно прості. Справді, якщо припустити протилежне, то =ир1 і =ир2.Отже
С = и (р1+р2) і а = и (р1-р2),
тобто числа с і а матимуть спільний дільник и, що суперечить умові.
Добуток двох взаємно простих чисел є точним квадратом (рівність 3) лише в тому випадку, коли кожне з цих чисел є точним квадратом. Нехай
=х2; =у2, тоді с=х2+у2 ; а=х2-у2 і 
=х2у2, або 
=(2ху)2; b=2ху.Маємо тотожність
(х2-у2)2+(2ху)2=(х2+у2)2.
Формули
а=х2-у2; b=2ху і с=х2+у2
дають можливість обчислювати a, b і c за значеннями х і у.
Якщо числа х і у взаємно прості й до того ж одне з них парне, а друге непарне, то трійки (a,b,c) будуть саме такі, як у вихідній задачі(найбільший спільний дільник a, b, c дорівнює 1) . Такі трійки піфагорових чисел називаються основними.
Основні трійки піфагорових чисел модна дістати, склавши таку таблицю.
| х | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | ||||||||
| у | 1 | 2 | 1 | 3 | 2 | 1 | 1 | 5 | 2 | 4 | 6 | 1 | 3 | 5 | 7 |
| a=x2-y2 b=2xy c=x2+y2 | 3 4 5 | 5 12 12 | 15 8 17 | 7 24 25 | 21 20 29 | 9 40 41 | 35 12 37 | 11 60 61 | 45 28 53 | 33 56 65 | 13 84 85 | 63 16 65 | 55 48 73 | 39 80 89 | 15 112 113 |
Її можна продовжити як завгодно довго. Отже, таких трійок чисел безліч.
Єгипетський трикутник, як видно з таблиці, дістанемо, якщо х=2, у=1. Помічаємо також, що коли х-у=1, гіпотенуза більша від більшого катета на 1. Це природно, бо коли
х=у+1, b=2xy=2у(у+1)=2у2+2у; с=(у+1)2+у2=2у2+2у+1 і тому с-b=1.
При цьому менший катет а=х2-у2=2у+1, а різниця довжин катетів b-а=2у2-1.Цей вираз дорівнює 1 тільки тоді, коли у=1. Знову приходимо до висновку, що існує лише один прямокутний трикутник, довжини сторін якого виражаються трьома послідовними натуральними числами.
Сума довжин гіпотенузи й катета b є точний квадрат, бо
с+b=х2+у2+2ху=(х+у)2.
Точним квадратом є також і їх різниця, тобто
с-b=х2+у2-2ху=(х-у)2.
Якщо х-у=п, то с-b=п2. Наприклад, якщо х=5 і у=2, маємо b=20 і с=29;
х+у=7; b+с=20+29=49=72; с-b=29-20=9=32.
Зрозуміло,що з кожної основної трійки піфагорових чисел модна дістати безліч похідних, бо
a2+b2=c2↔(3а)2+(4b)2=(5с)2
Наприклад, маючи трійку (3;4;5), дістанемо трійки (6;8;10), (9;12;15), (12;16;20) та ін.
До речі, усі трійки піфагорових чисел, які походять від основної трійки (3;4;5), і основна трійка є арифметичними прогресіями. Інших трійок піфагорових чисел, які б були арифметичними прогресіями немає.
Неважко показати, що серед основних трійок(а отже, і похідних) немає жодної, яка була б геометричною прогресією.
Припустимо, то така трійка (а;b;с) існує. Тоді b2=ас і значить а2+ас=с2. Звідси ас=с2-а2, або ас=(с+а)(с-а). Числа а і с непарні, тоді як (с+а) і (с-а) парні. Отже рівність, хибна, а це означає, що зроблене неправильне припущення.
Похідні трійки можна дістати також, надаючи х і у цілих значень(крім тих, при яких дістанемо основні трійки) або коли
і 
Наприклад, якщо х=4 і у=2, то а=12;b=16; ic=20. Такий результат можна дістати, помножаючи числа 3, 4 і 5 на 4.Якщо 
і 
, то а=6, b=8 і с=10; це можна також дістати, помноживши на 2 числа 3, 4 і 5.Якщо, наприклад, х=1000 і у=999, то дістанемо основну трійку
а=х+у=1999, b=1998000 і с=b+1=1998001.
1.3Історичні відомості
Піфагор Самосський (бл. 580–500 р.р. до н. е.) – давньогрецький математик і філософ. Народився на острові Самос в багатій купецькій сім’ї, здобув ґрунтовану освіту. За переказами, Піфагор для ознайомлення з мудрістю східних учених виїхав до Єгипту і, нібито, прожив там 22 роки, після чого провів 12 років у Вавілоні, де вивчив наукові праці вавілонських жерців. Близько 530 р. до н. е. повернувся на батьківщину і оселився в місті Кротоні. Тут йому вдалося організувати власну школу, яка діяла майже 30 років і здобула велику популярність. Школа Піфагора багато зробила для перетворення геометрії в науку. Характерною рисою методу Піфагора було поєднання геометрії з арифметикою: відрізки відігравали роль, аналогічну тому, як букви в сучасній алгебрі. Піфагор багато займався пропорціями та прогресіями. Вчення Піфагора та його учнів стосувалося гармонії, геометрії, теорії чисел, астрономії тощо. Піфагорійці понад усе цінували результати, здобуті в теорії гармонії, бо саме тут підтверджувалась їхня ідея, що числа визначають все.
Піфагор один з перших вважав, що Земля має форму кулі є центром Всесвіту, що сонце, Місяць і планети мають власний рух, відмінний від добового руху нерухомих зірок. Ці погляди передували геліоцентричному вченню Коперніка.
Піфагору приписують доведення теореми, яка має його ім’я. Її історія оповита легендами. Виявляється, що вона ще до Піфагора була відома єгиптянам, вавілонянам, китайцям та індійцям.
Рис.1
Німецький історик мате математики Кантор вважає, що рівність 32 + 42 = 52 була відома єгиптянам ще близько 2300 р. до н. е. в часи царя Аменетхета Ι. На думку Кантора, гарпедонапти, або "натягувачі вірьовок", будували прямі кути за допомогою прямокутних трикутників зі сторонами 3, 4, 5. Можна легко відновити їх спосіб побудови. Візьмемо вірьовку довжиною 12м і прив’яжемо до неї кольорові стрічки на відстані 3м від одного кінця і 4м від другого (рис.1). Потім натягнемо вірьовку так, як це вказано на рисунку. Прямий кут буде між сторонами довжиною в 3 і 4 метри.
Близько 2000 р. до н. е. вавілоняни вміли робити окремі обчислення з прямокутними трикутниками.
Геометрія в індусів, як і в єгиптян, була тісно пов’язана з культом. Цілком ймовірно, що теорема про квадрат гіпотенузи була відома в Індії близько 8 ст. до н.е.
Властивості трикутника з сторонами 3, 4, 5 були відомі в Китаї за 1100 р. до н. е., про що засвідчує математична книга Чупей.
Теорема Піфагора має різні формулювання. В "Початках" Евкліда вона формулюється так: У прямокутному трикутнику квадрат сторони, натягнутої над кутом, дорівнює квадратам на сторонах, що утворюють прямий кут.
Латинський переклад арабського тексту: У всякому прямокутному трикутнику квадрат, утворений на стороні, натягнутій над прямим кутом, дорівнює сумі двох квадратів, утворених на двох сторонах, що замикають прямий кут.
У перекладі з німецького читається так: Площа квадрата, виміряна довгою стороною трикутника, настільки ж велика, як у двох квадратів, які виміряні двома сторонами його, що прилягають до прямого кута. У першому російському перекладі евклідових "Початків", зроблено з грецької Ф.І. Петрушевським у 1819 році, теорема Піфагора викладена так: У прямокутних трикутниках квадрат із сторони, протилежної прямому куту, дорівнює сумі квадратів із сторін, що містять прямий кут.
У Франції і деяких областях Німеччини теорему Піфагора називали "мостом ослів". Вважають, що вона формулювалась так: Квадрат, побудований на гіпотенузі прямокутного трикутника, рівновеликий сумі квадратів, побудованих на його катетах.
В епоху середньовіччя теорема Піфагора визначала границі математичних знань. Характерне креслення теореми Піфагора використовувалось як символ математики, перетворювалось школярами в карикатури.
Нині всі погоджуються з тим, що ця теорема не була відкрита Піфагором. Однак, одні вважають, що Піфагор першим дав її повноцінне доведення, інші відомляють йому в цій заслузі. Дехто приписує йому доведення, яке Евклід (жив близько 300 р. до н.е. в Олександрії) наводить у першій книзі своїх "Початків". Проте Прокл, який жив у 410 – 485 р. р. у Візантії і Афінах, стверджує, що доведення в "Початках" належать самому Евкліду. Відомий голандський математик Ван-дер-Варден прийшов до висновку: "Заслугою перших грецьких математиків, таких, як Фалес, Піфагор і піфагорійці, є не відкриття математики, а її систематизація і обґрунтування. В їх руках обчислювальні рецепти перетворились в точну науку".