Аналогія: теорема Піфагора на площині і в просторі (стр. 4 из 6)

1.4Розв’язування задач

Задача 1

Основа трикутника дорівнює 40 см. До неї проведені висота довжиною 12 см і медіана довжиною

см. Обчислити периметр трикутника.

Розв’язання

Нехай у трикутнику АВС, АВ=40см, висота СН=12 см, медіана СМ=

см(рис.1)

З трикутника МНС(Н=90^о):

МН=

= =15(см).

Крім того, точка Н лежить між точками М і В. Оскільки

МВ=

=20(см), то

НВ=МВ-МН=5(см) і АН=АВ-НВ=35(см).

З

СНВ(Н=90^о): СВ= = =13(см).

З

СНА(Н=90^о): СВ= = =37(см).

Отже Р=АВ+ВС+АС=40+13+37=90(см.)

Рис. 1

Рис. 2

Задача2

Периметр ромба дорівнює 100 см, а діагоналі відносяться як 3:4. Обчислити площу ромба.

Розв’язання

Нехай АВСD – ромб, у якому ВD:АС=3:4 і Р=100(см) (рис.2)

Оскільки Р=4*АD, то АD=25 см. Враховуючи, що

ВD=2*ОD, АС=2*АО,

Одержимо

,

звідки

ОD=3k, AO=4k(k>0).

З

AOD(O=90^o): AD²=AO²+OD², 25=16k²+9k².

Тоді OD=3*5=15 (см),

АО=4*5=20(см),

S_ABCD=4*S_AOD=4*

*AO*OD=2*20*15=600(см²).

Задача3 (задача Леонардо Фібоначчі)

Дві башти висотою 30 і 40 футів розташовані одна проти другої на відстані 50 футів одна від одної. Між ними знаходиться фонтан, до якого з обох башт злітають два птахи, і , пролітаючи з однаковою швидкістю, прилітають до фонтану в один і той же час. Яка відстань по горизонталі відділяє фонтан від обох башт(рис.3)?

Розв’язання

Позначимо АЕ=х, тоді DЕ=50-х. З прямокутних трикутників ВАЕ і СDЕ за теоремою Піфагора маємо : ВЕ²=АЕ²+АВ², СЕ²=DЕ²+DС².За умовою ВЕ=ЕС, тоді маємо АЕ²+АВ²= DЕ²+DС², х²+40²=(50-х)²+30², х²+1600=2500-100х+х²+900, 100х=1800, х=18, DЕ=50-18=32. Отже, АЕ=18 футів, DЕ=32 фути.

Рис. 3

Рис.4.1

Задача 4

Обчислити довжину висоти трикутника, якщо відомо довжини його сторін.

Розв'язання

Нехай ΔАВС, АВ = с, АС =

,ВС = а, АН- висота.Позначимо проекцію сторони АВ на пряму ВС через Тоді проекція сторони АС на що саму пряму буде або а - х (рис. 4.1), або а + х(рис4.2).За теоремою Піфагора в першому випадку

Дістанемо рівняння

Розв’язуючи його, одержимо:

Тоді

У другому випадку відповідь буде та сама

Рис. 4.2

Рис. 5

Задача 5

На сторонах рівнобедреного прямокутного трикутника з катетом

побудовані квадрати зовні трикутника. Центри цих квадратів з'єднані між собою прямими лініями. Знайти площу одержаного трикутника.

Розв'язання

Нехай

ΔАВС,

C = 90°, АС = ВС = b,

ABMN,ACDF, BCKL- квадрати

Неважко переконатись в тому, що ΔO₁O₂O₃ – рівнобедрений, O₁C – висота(рис.5).

Тоді

.

За теоремою Піфагора

Таким чином,

Розділ 2. Теорема Піфагора у просторі або стереометричний аналог теореми Піфагора

Метод аналогії є одним з ефективних і розповсюджених методів математики. Його застосування приводить до плідних і часто до неочікуваних результатів.

Деякі властивості трикутника і тетраедра схожі, а деякі геометричні поняття, пов’язані з трикутником , мають просторові аналоги: наприклад, сторона трикутника – грань тетраедра, довжина сторони – площа грані, вписане коло – вписана сфера, площа – об’єм,бісектриса кута – бісектор двогранного кута тощо. Багато теорем про трикутники, якщо замінити в їх формулюванні планіметричні терміни відповідними стереометричними і конкретно сформулювати, то вони перетворюються в теореми про тетраедри. Однією з таких є аналог теореми Піфагора в стереометрії.

Означення. Якщо три ребра, які виходять з однієї вершини тетраедра, попарно ортогональні, то тригранний кут, що визначається ними, називається прямим, а тетраедр – прямокутним.

Теорема (стереометричний аналог теореми Піфагора).У прямокутному тетраедрі квадрат площі грані, що лежить проти прямого тригранного кута, дорівнює сумі квадратів площ решти граней.

Доведення 1. Нехай у прямокутному тетраедрі OABC

(Рис.2.1)

Доведемо, що

Маємо:

(1)

У Δ АВС:

, (2)

Площу трикутника АВС обчислимо за формою Герона

, де

Виконаємо перетворення:

,

.

Використовуючи (2), (3), одержимо:

тобто

(4)

Враховуючи (1), (4), одержимо

Розглянемо доведення, в якому використовується метод проекцій

Доведення 2

Нехай у прямокутному тетраедрі ОАВС грані ОВС, ОАС, ОАВ утворюють з основою АВС кути

відповідно. Оскільки точка О проектується в ортоцентр Н трикутника АВС, то лінійні кути двогранних кутів при основі утворюватимуться висотами відповідних граней: (Рис. 2.2 ).Спроектуємо висоту ОН на ребра прямого тригранного кута, одержимо: ОА₁=ОН (Рис. 2.3), аналогічно ОВ₁=ОН , OC₁=OH .

У прямокутному паралелепіпеді з діагоналлюОН і ребрами ОА₁, ОВ₁, ОС₁ справджується рівність

або

,

звідки

(1)

Оскільки

то ΔAOB – ортогональна проекція ΔАВС, аналогічно ΔAOC – ортогональна проекція ΔАВС і ΔBOС – ортогональна проекція ΔАВС.

Маємо:

,

звідси

. (2)