Аналогія: теорема Піфагора на площині і в просторі (стр. 5 из 6)

Враховуючи (1) і (2), одержимо:

, або .

Пропонуємо інші доведення теореми Піфагора для прямокутного тетраедра.

Доведення 3

Нехай у прямокутному тетраедрі ОАВС

, (Рис. 2.4).

Побудуємо висоту СН трикутника АВС і сполучимо точки О і Н.

Маємо: СН – похила, ОН – її проекція, СН

АВ. За теоремою про три перпендикуляри ОН АВ. Знайдемо площу трикутника АВС:

З ΔСОН (

О = 90° ) (2)

Знайдемо ОН, для цього виразимо площу трикутника АОВ через катети, тобто

(3),

теорема піфагор площина простір

і через гіпотенузу АВ та висоту ОН, опущену на неї, тобто

або

(4)

З рівностей (3), (4)

,

звідки

. (5)

Враховуючи ( 2 ), ( 5 ), одержимо:

(6)

Спосіб 1. Враховуючи ( 1 ), ( 6 ) одержимо:

Тоді

.

Спосіб 2. Можна використати формулу проекцій

Оскільки

і

,

то

,

звідки

або

.

Доведення 4. Нехай у тетраедрі ОАВС

, , лінійний кут двогранного кута при ребрі АВ ( Рис. 2.5 ). Припустимо, що виконується рівність

. (1)

Оскільки ΔАОВ – ортогональна проекція ΔАВС, то

(2)

Враховуючи рівності (1) і (2), одержимо:

. (3)

З ΔАОВ (

О = 90°) ,

тоді

,

звідки

, або . З ΔСОН ( )

Крім цього,

Формула (3) набуває вигляду

,

тобто

Останній вираз є вірною рівністю, одержаною з рівності ( 1 ) за допомогою тотожних перетворень, тому можна зробити висновок: початкове припущення вірне і справедлива теорема: У прямокутному тетраедрі квадрат площі грані, що лежить проти прямого тригранного кута дорівнює сумі квадратів площ решти граней.

Доведення 5. Нехай ОН – висота прямокутного тетраедра ОАВС з прямим тригранним кутом при вершині О, тоді АН₁ – висота ΔАВС (Рис.2.6).

З ΔАОН₁

(наслідок з теореми Піфагора)

Помноживши цю рівність на

, одержимо:

або

,

або

(1)

Аналогічно одержимо:

, (2)

(3)

Додамо почленно рівності (1), (2), (3), одержимо

.

Таким чином,

Доведення 6. Нехай у тетраедрі ОАВС

, ΔАНС – ортогональна проекція ΔАОС на площину трикутника АВС (Рис.2.6).

Позначимо

- лінійний кут двогранного кута при ребрі АС. Тоді

(1)

Оскільки ΔАОС – ортогональна проекція ΔАВС, то

(2)

З (1), (2) слідує

,

звідки

. (3)

Аналогічно одержимо

(4),

.

Додамо почленно (3), (4), (5), одержимо:

.

Таким чином,

.

Доведення 7. Нехай у прямокутному тетраедрі ОАВС

, .Виберемо прямокутну декартові систему координат так, що вісь сумістилась з прямою ОА, вісь - з прямою ОВ, а вісь - з прямою ОС і розглянемо вектори і ( Рис. 2.7 ). Маємо в :

Оскільки

^ , .

Отже,

(1)

Обчислимо

(2),

(3)

Враховуючи (1), (2), (3), одержимо

,

звідки

.

З ΔАСН

.

Маємо

.

Тоді

Оскільки

,

то

,

звідси

або

Доведення 8. Для обчислення площі трикутника АВС (Рис.2.7) використаємо геометричне тлумачення векторного добутку двох векторів, а саме: