Аналогія: теорема Піфагора на площині і в просторі (стр. 1 из 6)
Зміст
Вступ
Розділ 1. Теорема Піфагора на площині
1.1Різні доведення теореми Піфагора
1.2Теорема Піфагора та цілочислові прямокутні трикутники
1.3 Історичні відомості
1.4 Розв’язування задач
Задача 1
Задача 2
Задача 3
Задача 4
Задача 5
Розділ 2. Теорема Піфагора у просторі або стереометричний аналог теореми Піфагора
2.1 Теорема(стереометричний аналог теореми Піфагора)
Доведення 1
Доведення 2
Доведення 3
Доведення 4
Доведення 5
Доведення 6
Доведення 7
Доведення 8
Доведення 9
Висновок
Література
Вступ
Математик – це той , хто вміє знаходити аналогії між твердженнями; кращий математик той, хто встановлює аналогії доведень; більш сильний математик той, хто помічає аналогії теорій; але можна уявити собі й такого, хто між аналогіями бачить аналогії. (Стефан Банах)
Аналогія є таким умовидом, при якому, встановивши схожість будови об’єктів у деяких властивостях, припускають , що вони, можливо, схожі і в інших властивостях.
Відомо, що в процесі розвитку науки висновки за аналогією відіграють велику роль. Аналогія, як важлива форма мислення завжди привертала до себе увагу і була предметом дослідження видатних вчених, мислителів. Чудові зразки міркувань за аналогією дали такі відомі природодослідники, як Леонардо да Вінчі, Й. Кеплер, Г. Галілей, М.В. Ломоносов, Ч. Дарвін, Д.І. Менделєєв, К. Максвелл, А. Ейнштейн та інші. За допомогою аналогії вони обґрунтували ряд найважливіших наукових відкриттів.
Серед цінностей інтелекту «вищого порядку», що являють собою найважливішу частину математичної освіти, одне з пріоритетних місць, ймовірно, займає вміння знаходити і застосовувати аналогії. Про цей метод поетично і захоплено говорив Стефан Банах: «Математик – це той, хто вміє знаходити аналогії між твердженнями; кращий математик той, хто встановлює аналогії доведень; більш сильний математик той, хто помічає аналогії теорій; але можна уявити собі й такого, хто між аналогіями бачить аналогії. »
Але більш багатогранно аналогія виявляється у творчій діяльності людини. Велике значення має аналогія для творчого мислення.
Аналогія застосовується в учнівському пізнанні
П.М. Єрднієв вважає, що володіння ум овидом за аналогією «сприяє як творчості вченого – математика, так і успішному навчанню цієї науки або самостійному вивченню її».
Роль аналогії значно зростає в сучасних умовах навчання, коли перед школою стоїть завдання озброювати учнів не лише знаннями, а й методами самостійного здобуття знань.
Звернемо увагу на основні дидактичні функції аналогії. По-перше, аналогія сприяє більш глибокому осмисленню матеріалу, що вивчається. При цьому застосовується ті види аналогії, які конкретизують образи і уявлення. По-друге, аналогія при вивченні нового матеріалу допомагає підводити учнів до визначення нових для них понять, самостійних пошуків способу розв’язання задачі, ефективної організації повторення, узагальнення і систематизації матеріалу.
Вбачаючи в аналогії великі дидактичні можливості, вчені радять користуватись нею і вчителю, і учням. Проте слід пам’ятати, що висновки в умовиводах за аналогією не дає відповіді на питання про правильність припущення, ця правильність повинна перевірятись іншими засобами. Та аналогія важлива вже тим,що вона наводить на здогади, подає думку про те чи інше припущення. Це дуже важливо як у розвитку науки, так і в вивченні математики.
Звідси випливає актуальність вибраної теми.
Об'єкт дослідження – теорема Піфагора на площині і в просторі;
Предмет дослідження – аналогія між теоремою Піфагора на площині і в просторі;
Мета дослідження – розглянути в чому полягає аналогія міжтеоремою Піфагора на площині і в просторі.
Для реалізації поставленої мети необхідно розв'язати наступні завдання:
- підібрати, опрацювати та систематизувати літературні джерела з обраної теми;
- підібрати, класифікувати та зібрати задачі про теорему Піфагора на площині і в просторі (на доведення та обчислення).
Курсова робота складається зі вступу, двох розділів,висновку,списку використаної літератури, що містить 3 найменування.
У вступі визначається об'єкт, предмет,мета та завдання дослідження,обґрунтовується актуальність обраної теми,описана структура курсової роботи.
В наступних розділах йде огляд і доведення аналогії між трикутником та тетраедром.У висновку підведено підсумок про виконану роботу.
Розділ 1. Теорема Піфагора на площині
Теорема Піфагора. У прямокутному трикутнику квадрат довжини гіпотенузи дорівнює сумі квадратів довжини катетів.
Дано: ΔАВС,
С = 90°, ВС = а, АС = b, АВ = с.Довести: с2 = а2 + b2
1.1Різні доведення теореми Піфагора
Доведення 1. На гіпотенузі і катетах побудуємо квадрати і виконаємо додаткові побудови, які видно на рисунку 1. Тоді
NAB = 90° + САВ, САЕ =90° + САВ. Отже, NАВ = САЕ. Крім цього, NА = СА, АВ = АЕ.Таким чином, за першою ознакою рівності трикутників маємо: ΔNAB = ΔCAE. Але SΔNAB=
NA·NK = SΔANRC, SΔCAE= AE·EH = SAEHR. Порівнюючи останні три рівності, дістанемо: SANKC= SAEHR. ( 1 ) Аналогічно, ABE = 90° + ABC, CBD = 90° + ABC. Звідси ABF = CBD. Крім того, AB – DB, CB – FB. Тоді за першою ознакою рівності трикутників ΔABF = ΔDBC. Але SΔABF = BF·QF = SBCQF, SΔDBC = 
BD·HD = SHRBD. З цих рівностей одержимо: SBCQA = SHRBD. ( 2 ) Додамо почленно рівності (1) і (2):SANKC + SBCQF = SAEHR + SHRBD, але SAEHR + SHRBD = SAEDB.
Таким чином, SANKC+ SAEDBабо b2 + a2 = c2
Рис. 1
Рис. 2
Доведення 2
Побудуємо ΔBDE = ΔACB так, щоб B
CD ( рис 2).Тоді чотирикутник ACDE – трапеція, бо AC || DE як два перпендикуляри до CD. Маємо:
SACDE=
·CD = 
· 
2 (1)Крім того, SACDE= SΔABE + 2SΔABC. Трикутник ABE рівнобедрений і прямокутний. Дійсно, якщо позначимо
АВС = BED = 
, тоді в прямокутному трикутнику BDE DBE = 90° - . За побудовою CBD = 90°.Таким чином, ABE = 180° - 
°, SΔABC= 
, SΔABC= 
.Тоді SACDE=
( 2 )Порівнюючи рівності ( 1 ) і ( 2 ), дістанемо:
Доведення 3. Побудуємо CD
AB ( рис.3 ).Нехай
CAB = BCD = 
. Тоді SΔABC = 
sin . Оскільки 
,