Похідна Фреше та похідна Гато (стр. 4 из 9)

. (5)

Але

і

.

Тому рівність (5) набуває вигляду

.

Нехай

– функціонал з нормою, що дорівнює одиниці, і такий, що . Тому

.

Теорему доведено.

1.3 Похідна Гато

Для відображень лінійного нормованого простору окрім похідної Фреше можна ввести ще одне поняття похідної.

Нехай задано відображення

і – одиничний вектор простору , який визначає певний напрямок. Границя

,

якщо вона існує, називається похідною відображення

за напрямком (або похідною Гато) і позначається .

Якщо фіксований довільний ненульовий вектор

, то часто говорять про похідну за напрямком , розуміючи під цим границю відношення при умові, що вона існує; цю границю позначають . Ясно, що , де – одиничний вектор напрямку , тобто .

Зауваження. Похідна Фреше

і похідна за напрямком є елементами різної природи: є лінійний оператор з X в Y, в той час як є елементом простору Y.

Якщо відображення

диференційовне в точці за Фреше, то воно диференційовне в цій точці за будь-яким напрямком :

.

Обернене твердження невірне (див. приклад 2, відображення

)

Це відображення диференційовне в нулі за будь-яким напрямком, оскільки при

маємо

,

звідки випливає, що

існує і дорівнює 1. В той самий час відображення не диференційовне за Фреше в точці .

Умови, коли з диференційовності за напрямком випливає диференці-йовність за Фреше, будуть розглянуті нижче.

1.3.1 Основні теореми

Для відображень, які мають похідні за напрямками, також має місце аналог теореми Лагранжа. Проте, перш ніж формулювати та доводити цю теорему, наведемо одну лему з теорії функцій дійсної змінної.

Лема 1. Нехай дійсна функція

дійсної змінної t визначена і неперервна на відрізку і має на проміжку праву похідну . Якщо , , то

.

Доведення. Доведемо праву нерівність. Припустимо, що вона не вірна, тобто

. Тоді найдеться достатньо мале таке, що все ще виконується нерівність

, або (7)

Розглянемо функцію

. Ця функція неперервна на і в силу (7). Оскільки

і

, то при , які достатньо близькі до . Тому на інтервалі знайдуться точки, в яких перетворюється на нуль. Нехай – найбільший з коренів рівняння . Ясно, що . Тоді для , звідки для всіх таких маємо

, або .

Таким чином,

, що суперечить означенню числа .

Лему доведено.

Наслідок 1. Якщо в умовах леми

, то

.

Наслідок 2. Якщо при виконанні умов леми додатково

неперервна на інтервалі , то неперервно диференційовна на .

Доведення. Нехай

і настільки мале, що . Покладемо

, .

Згідно леми

.

Оскільки

і прямують до при , то з попередньої нерівності випливає, що похідна

існує та неперервна по

, оскільки така права похідна .