Похідна Фреше та похідна Гато (стр. 6 из 9)
Доведення. Розглянемо
,так як
при 
і 
Лема доведена.
Має місце обернене до леми твердження, причому
.Поняття частинних похідних і попередні результати безпосередньо узагальнюються на випадок, коли X – пряма сума будь-якого скінченого числа підпросторів.
Зауваження. Оскільки в силу відповідності
простори 
і 
є ізоморфними, а з метриками, які породжені нормами 
є ізометричними, то все вище наведене для частинних похідних переноситься на відображення виду:
де 
.Нехай тепер
і, як завжди, 
відкрите, так що 
де 
, 
. Якщо “координатні функції” 
диференційовні в точці 
, то 
диференційовне в цій точці і 
. Дійсно, 
,Причому
, якщо 
.Ці результати розповсюджуються на випадок відображень, які приймають значення в декартовому добутку будь-якого скінченого числа просторів.
РОЗДІЛ 2
ПОХІДНІ ФРЕШЕ ТА ГАТО В ПРИКЛАДАХ І ЗАДАЧАХ
1. Довести, що похідна Фреше диференційовного в точці відображення визначається єдиним чином.
Доведення
Нехай
, 
– дві похідні Фреше в точці x, тоді 
, де 
(1) 
, де 
(2)Розглянемо різницю (2)-(1):
, якщо 
Це прямування до нуля нетривіально, тобто
якщо
.Тобто, похідна Фреше диференційованого відображення визначається єдиним чином.
2. Довести, що якщо оператор f диференційовний за Фреше в точці x, то f неперервний в цій точці.
Доведення
Якщо та 
, то 
.3. Довести, що якщо
, то 
(нульовий оператор).Доведення.
Нехай оператор
диференційовний за Фреше, тобто 
, де 
Нехай
, тоді 
( 
– нульовий оператор) 
, звідки 
(нульовий оператор, який діє на h).4. Довести, що похідною Фреше лінійного неперервного відображення є саме це відображення.
Доведення.
Нехай оператор
диференційований за Фреше, тобто , де 
. 
– лінійний неперервний оператор5. Нехай f, g – два неперервних відображення з X в Y. Довести, що якщо f та g диференційовні за Фреше в точці x, то відображення f+g та cf, де c-const, також диференційовні в цій точці, причому
, 
Доведення.
Розглянемо
, якщо 
.Тепер
,якщо
.6. Нехай
, де 
– дійсний гільбертів простір. Знайти похідну Фреше в точці x.Розв’язок.
Тобто,
.7. Знайти похідну Фреше функціонала
в точці x дійсного гільбертова простору.Розв’язок
Нехай
, 
. Тоді 
.Розглянемо
, 
. Тоді 
Тепер
, де 
.Тоді
, де 
.8. Знайти похідну Фреше відображення
.Розв’язок
Нехай
, 
.Тоді
.Розглянемо
, 
. Тоді 
, де 
.