Похідна Фреше та похідна Гато (стр. 7 из 9)
9. Знайти похідну Фреше відображення
.Розв’язок
Нехай
, 
, 
, 
.Тоді
.10. Знайти похідну Фреше відображення
.Розв’язок
Нехай
, 
, , . Тоді 
, 
.11. Знайти похідну Фреше відображення
.Розв’язок
Нехай
, 
, , 
. Тоді 
.12. Задано відображення
. Довести, що 
.Доведення
Розглянемо для
, якщо 
Лінійність:
Обмеженість:
Остаточно маємо
.13. Задано відображення
. Довести, що 
.Доведення
Розглянемо для
Остаточно маємо
.14. Задано відображення
. Довести, що 
.Доведення
Розглянемо для
Остаточно маємо
.15. Знайти похідну Фреше відображення
.Розв’язок
,причому
.Лінійність:
, 
, тобто 
, 
,Обмеженість:
.Остаточно знаходимо,
.16. Довести, що необхідною і достатньою умовою диференційовності за Фреше відображення
в точці x є диференційовність ( в звичайно-му сенсі) функції багатьох змінних 
в точці 
.Доведення
Необхідність. Нехай відображення
диференційовне за Фреше в точці x: 
.Функція
в точці 
називається диференційовною, якщо 
,(*)де
.Приведемо
до вигляду (*): 
, 
, 
Виберемо
, тоді 
Виберемо
, тоді знаходимо 
, і т.д.Виберемо
, тоді 
і 
, 
, 
.Достатність. Нехай відображення
диференційовне в звичайному сенсі: 
. Перевіримо лінійність та обмеженість по h. Адитивність та однорідність для скалярного добутку вірні, тому лінійність є.Обмеженість:
, де 
Остаточно знаходимо
.Розглянемо два приклади
1.
,тоді
, 
.2.
, тоді 
17. Знайти похідну Фреше відображення
в точці 
: 
Розв’язок.
; 
; 
; 
18. Нехай
і 
, де 
– стандартний базис в 
. Знайти похідну Гато 
.