Похідна Фреше та похідна Гато (стр. 8 из 9)
Розв’язок
Якщо
, то 
відображає 
в 
. Дійсно, позначимо 
, ряд 
збігається, тоді збігається й ряд 
, так що 
для довільного 
.Обираємо за напрямок одиничного вектора орт
і знаходимо 
Тоді
Похідна
існує і дорівнює 
.19. Якщо відображення диференційовне за Фреше, то воно диференційовне за Гато. Обернене твердження в загальному випадку невірне. Наприклад, в просторі
розглянемо функцію 
Дослідимо функцію на неперервність в точці (0,0):
Якщо
, то 
і 
. Тобто 
неперервна в точці (0,0).Розглянемо
Тобто, відображення
диференційовне за Гато.Розглянемо
– функція двох змінних, покладемо
, нехай 
і розглянемо
,тобто відображення
не диференційне за Фреше.20. Якщо диференціал Гато є обмеженим функціоналом, то він називається градієнтом функціонала і позначається
.Нехай Н – дійсний гільбертів простір,
. Обчислити 
.Розв’язок
За теоремою про загальний вигляд лінійного функціонала в Н знаходимо, що
.21. Нехай Н – дійсний гільбертів простір,
. Обчислити 
.Розв’язок
За теоремою про загальний вигляд лінійного функціонала в Н знаходимо, що
.22. Нехай Е – нормований простір. норма диференційовна за Гато. Розглянемо функціонал
. Обчислити норму функціонала 
.Розв’язок
З одного боку
, з іншого боку – 
. Отже, 
, тобто 
.Розглянемо
.Переходячи до
, нерівність зберігається: 
, 
, отже 
.23. Довести, що градієнт норми є непарним оператором, тобто довести співвідношення:
.Доведення
Нехай
. Розглянемо 
24. Нехай
, де 
неперервна за обома аргументами і неперервно диференційовна за другим аргументом, а 
– неперервна функція. Знайти похідну Фреше в точці 
.Розв’язок
, 
Відповідь:
.25. Знайти похідну Фреше наступних відображень в заданих точках:
1)
Згідно з задачею 24
, тоді 
, 
, 
.2)
Згідно з задачею 24
, тоді 
, 
, 
3)
Згідно з задачею 24
, тоді 
, 
, 
4)
Згідно з задачею 24
, тоді 
, 
, 
5)
Згідно з задачею 24
, тоді 
, 
, 