Алгоритм решения Диофантовых уравнений (стр. 3 из 8)
Мне не приходилось встречать классического решения этого уравнения, - для меня это чистый экспромт. Специалисты могут сравнить.
Вообще же, этим методом решается любое уравнение вида:
,а уравнение Пелля лишь как частный случай, при t = 2 и N= 1.
Уравнение
. (1)(У2=Х3-Х, У2=Х3-Х+1, У2=Х3+аХ+В)
Рассмотрим 4 варианта:
- I У - нечётное число, Х - нечётное число, К - чётное число;
- II У - нечётное число, Х - чётное число, К - нечётное число;
- III У - чётное число, Х - чётное число, К - чётное число;
- IV У - чётное число, Х - нечётное число, К - нечётное число.
Решение этого уравнения принципиально ни чем не отличается от решения уравнения Пелля, - в обоих уравнениях наличие двух переменных.
Вариант I.
Во всех четырёх вариантах У>Х, и следовательно
1> 2 
Тогда будет
(2)Получилась система уравнений (1) и (2).
Хотя и без решения системы часть решений уже можно определить.
Рассмотрим частный случай уравнения (2) при m=1.
,при m≥1.Т.к. K чётное число, тогда K=8, 24, 48, 80, 120, 168, 224, 288, 360 ….
Получится возрастающий ряд K.
Этому ряду K соответствует ряд разностей:
У-Х=2, 4, 6, 8, 10, 12 …. при положительных значениях радикала и
У-Х=-4, -6, -8, -10, -12 …. при отрицательных значениях радикала.
Рассмотрим четыре примера, взяв соответственно:
1) У-Х=2 K=8
2) У-Х=4 K=24
3) У-Х=6 K=48
4) У-Х=8 K=80
1) У=Х+2, подставим в уравнение (1) при K=8
Х1=1 Х2=2 Х3=-2
У1=3 У2=4 У3=0
K=8 K=8 K=8
2) У=Х+4
Х=1
У=5
K=24
3) У=Х+6
Х=1
У=7
K=48
4) У=Х+8
Х1=1 Х2=4 Х3=-4
У1=9 У2=12 У3=4
K=80 K=80 K=80
Вариант II.
(3) 
Подставляем в (3), получаем
, m≥1.При m=1 K примет значения –7, 1, 17, 41, 73, 113 ….;
Как и в предыдущем варианте получится возрастающий ряд K, и ему соответствует ряд разностей:
У-Х=-1, 1, 3, 5, 7, 9….; У-Х=-3, -5, -7, -9….
Вариант III.
После подстановки
1, 2, окончательно получим , m≥1.При m=1 K примет значения –4, 8, 28, 56 ….
Этому ряду K соответствует ряд разностей:
У-Х=0, 2, 4, 6….; У-Х=-4, -6, -8, -10….
Вариант IV.
, m≥1.При m=1 K примет значения 3, 15, 35, 63, 99 ….
Этому ряду K соответствует ряд разностей:
У-Х=1, 3, 5, 7, 9 ….; У-Х=-3, -5, -7, -9, -11….
Уравнения У2=Х3-Х, У2=Х3-Х+1, У2=Х3+аХ+В и прочие уравнения эллиптических кривых познавательного интереса для данного алгоритма не представляют.
Повторяясь, скажу, важно лишь количество неизвестных. Поэтому распишу лишь первое из них.
- I У - чётное число, Х - нечётное число;
- II У - чётное число, Х - чётное число, всегда У > Х, и как следствие
1> 2.Вариант I.
Т.к.
Тогда
После подстановки
Вариант II.
Сразу пишу ответ
И после всех преобразований и подстановок
Работа при исследовании уравнений данным алгоритмом достаточно монотонная.
Исследование уравнения
проведено, кстати, не до конца.Не рассмотрена ситуация У < Х.
Иррациональные корни уравнения
.Известно, что данное уравнение имеет иррациональные корни. Но для решения, предположим, что уравнение увидели впервые. И тогда начало решения будет традиционным для данного алгоритма.
Рассмотрим 2 варианта:
- I Х - чётное число, У - нечётное число;
- II Х - нечётное число, У - чётное число.
Всегда Х > У
Вариант I.
Функциональное уравнение общего вида будет:
, где 
, 
(1)Преобразования изображу подробно
(2)В уравнении (1)
, 
Тогда
, 
Значения
и 
подставим в формулу (2) 
Исходное уравнение
запишем в виде
Тогда
До конца не преобразуя, оставляю решение в виде системы
