Алгоритм решения Диофантовых уравнений (стр. 4 из 8)

Вариант II.

, где

(4)

Преобразования без комментариев.

(5)

В уравнении (4)

Тогда

Значения

подставим в формулу (5)

И сразу пишу систему решений

Итого: иррациональными решениями уравнения

являются две системы уравнений (3) и (6).

Отрицательные значения радикалов не рассматриваю.

Поиск Пифагоровых троек

(1)

Пусть Х – нечётное число, У – чётное число, Z – нечётное число

и Х > У >Z.

уравнение

представлено в виде

, и далее оно расписано в виде произведения

(2)

Можно составить три системы уравнений:

И по порядку начинаем рассматривать все три варианта.

Заранее составим заготовку для их решения.

Откуда следует

(3)

Произведя подстановку соотношений (3) и с учётом уравнений (2) получим систему из трёх уравнений с тремя же неизвестными.

После соответствующих преобразований будет

Перед радикалом убран знак «минус» ибо комплексные решения не интересуют.

Простой перебор значений mдаёт следующие результаты:

- при m=2

, тогда

- при m=7

, тогда

б) Система (б) после сокращений примет вид

После подстановок (3) и с учётом уравнения (2) получим систему уравнений:

откуда

При m≥1, Z=1, 3, 5, 7, 9, 11…. т.е. все нечётные числа, хотя единицу надо убрать, ибо она не удовлетворяет условию системы (4).

Из (Х-У)(Х+У)=Z²получаем, систему уравнений

(4)

Решая данную систему, получаем ряд значений Пифагоровых троек.

Х	5	13	25	41	61	85	113	145	181	221	265	313	365	421
У	4	12	24	40	60	84	112	144	180	220	264	312	364	420
Z	3	5	7	9	11	13	15	17	19	21	23	25	27	29

В этой таблице, когда Z является простым числом, дальнейшие расчёты Пифагоровых троек отсутствуют.

Когда Z является составным числом, возможен дальнейший расчёт.

Возьмём Z=15 Z²=225

225=1х 225; 3х75; 5х45; 9х25

Будем рассматривать систему (4), подставляя подчёркнутые произведения .

Х=39, У=36, Z=15, после сокращения на три

Х=13, У=12, Z=5

Х=25, У=20, Z=15, после сокращения на пять

Х=5, У=4, Z=3

Х=17, У=8, Z=15, несколько неожиданный

результат, ибо рассматривается по условию У > Z.

Возьмём Z=27 Z²=729

729=1х729; 3х243; 9х81

Расчёт показывает

Х=123, У=120, Z=27, после сокращения на три Х=41, У=40, Z=9;

Х=45, У=36, Z=27, после сокращения на девять Х=5, У=4, Z=3.

Возьмём Z=35 Z²=1225

1225 = 1х1225; 5х245; 7х175; 25х49.

Х = 125 (25), 91 (13), 37

У = 120 (24), 84 (12), 12

Z = 35 (7), 35 (5), 35

И последний раз в качестве примера

Возьмём Z=39 Z²=1521

1521=1х1521; 3х507; 9х169; 13х117.

Х	5	13	25	41	61	85	113	145	181	221	265	313	365	421
У	4	12	24	40	60	84	112	144	180	220	264	312	364	420
Z	3	5	7	9	11	13	15	17	19	21	23	25	27	29

Х	5	13	25	41	61	85	113	145	181	221	265	313	365	421
У	4	12	24	40	60	84	112	144	180	220	264	312	364	420
Z	3	5	7	9	11	13	15	17	19	21	23	25	27	29

Х	5	13	25	41	61	85	113	145	181	221	265	313	365	421
У	4	12	24	40	60	84	112	144	180	220	264	312	364	420
Z	3	5	7	9	11	13	15	17	19	21	23	25	27	29