Конечные группы с заданными перестановочными подгруппами (стр. 10 из 15)

Рассмотрим следующих три основных примера:

Пример 3.2 Пусть

– конечная группа, – силовская -подгруппа , – силовская -подгруппа . Тогда в общем случае , но существует такой, что – силовская -подгруппа группы .

Подгруппа

конечной группы называется нормально погружённой, если каждая её силовская подгруппа является силовской подгруппой в некоторой нормальной подгруппе группы .

Пример 3.3 Пусть

– конечная разрешимая группа, и – нормально погружённые подгруппы группы . Тогда является -перестановочной с .

Определение 3.4 Подгруппа

группы называется (наследственно) -перестановочной, если она (наследственно) -перестановочна со всеми подгруппами группы .

Пример 3.5. Пусть

, где и – симметричная группа из 3 символов. Ясно, что не является перестановочной ( для всех не тождественных элементов ). В тоже время – наследственно -перестановочна.

Рассмотрим теперь общие свойства

-перестановочных подгрупп, изложенные в следующей теореме.

Теорема 3.6 Пусть

, , подгруппы группы и . Тогда справедливы следующие утверждения:

(1) Если

(наследственно) -перестановочна с , то (наследственно) -перестановочна с ;

(2) Если

(наследственно) -перестановочна с , то (наследственно) -перестановочна с для всех ;

(3) Если

и (наследственно)

-перестановочна с , тогда (наследственно) -перестановочна с в ;

(4) Если

и (наследственно)

-перестановочна с в , тогда (наследственно) -перестановочна с ;

(5) Если

, наследственно

-перестановочна с , то наследственно -перестановочна;

(6) Если

(наследственно) -перестановочна с и , то (наследственно) -перестановочна с ;

(7) Если

-перестановочна с и , то -перестановочна с .

Доказательство:

Утверждения (1), (2), (5), (6) и (7) очевидны.

(3) Пусть

– элемент из (элемент ) такой что . Тогда

в

и если , тогда