Конечные группы с заданными перестановочными подгруппами (стр. 11 из 15)

Таким образом подгруппа

– (наследственно) -перестановочна с в .

Аналогично можно доказать утверждение (4).

Ч.т.д.

4. Конечные группы с заданными

-перестановочными подгруппами

Используя понятие

– перестановочности мы рассмотрим новые характеристики классов сверхразрешимых, нильпотентных и разрешимых групп.

Далее мы докажем р-разрешимость конечных групп, в которых собственные подгруппы фиксированного порядка некоторой силовской р-подгруппы перестановочные с каждой силовской подгруппой, порядок которой взаимно прост с р.

Используем следующие обозначения:

– силовская р-подгруппа группы и .

– подгруппа из и , где – натуральное число.

– максимальная подгруппа силовской р-подгруппы .

Остальные обозначения и определения смотри в

.

Теорема 4.1.

, силовская -подгруппа , -перестановочна с каждой силовской подгруппой из , порядок которой взаимно прост с . Тогда -разрешима.

Доказательство: Для доказательства леммы применим индукцию по порядку группы

.

Пусть

– силовская -подгруппа группы ,

-перестановочная со всеми силовскими подгруппами группы , порядки которых взаимно просты с .

Предположим

. Применяя теорему 3.6 видим, что условие данной теоремы переносится на фактор-группы. Значит мы можем считать, что – разрешимая группа, что влечёт разрешимость группы . Пусть теперь тогда, по теореме 2.1 группа непроста.

Докажем, что любая инвариантная в

подгруппа

-разрешима.

Возьмём подгруппу

, инвариантную в , и будем рассматривать подгруппу . Имеем два случая:

1)

.

В этом случае

. Тогда все -подгруппы для содержатся в . Подгруппа -силовская в . Следовательно, имеем

и, согласно индукции,

-разрешима.

2) Пусть

.

В этом случае подгруппы

являются

-силовскими в , а – -силовскими в .

Из

по индукции имеем, что -разрешима и, следовательно, -разрешима.

Так как для

условия теоремы выполняются, то по индукции имеем -разрешимость и .

Теорема доказана.

Теорема 4.2. Пусть

– силовская -подгруппа , и каждая максимальная подгруппа из перестановочна с каждой силовской подгруппой из , порядок которой взаимно прост с . Тогда -разрешима.

Доказательство: проведём методом индукции по порядку группы

.

Если р-силовская подгруппа

группы не является циклической, то она содержит две различные максимальные подгруппы и . Тогда, используя условия теоремы, имеем

Отсюда, согласно теореме 4.1,

p-разрешима.

Пусть

– циклическая подгруппа и – максимальная подгруппа из .

Предположим

. Применяя теорему 3.6 видим, что условие данной теоремы переносится на фактор-группы. Значит мы можем считать, что – разрешимая группа, что влечёт разрешимость группы . Пусть теперь , тогда по теореме 2.1 группа непроста.