Пусть
– инвариантная подгруппа , тогда для иПодгруппа
перестановочна с подгруппой .Действительно,
Если
является силовской р-подгруппой в , то по теореме 4.1 p-разрешима, а следовательно, и p-разрешима.Если
не является силовской в , то она максимальная в силовской подгруппе . В том случае, когда , по индукции и p-разрешимы.Когда
. По подсчёту порядков имееми
– максимальная подгруппа в силовской р-подгруппе из .Если
, то выполняются для подгруппы условия теоремы в видуследовательно, по индукции
p-разрешима.В случае
имееми из факторизации
следует , что для циклической невозможно.Мы показали, что существует р-разрешимая инвариантная подгруппа группы
. Тогда минимальная инвариантная подгруппа группы – либо р-подгруппа, либо -подгруппа.Пусть
– -подгруппа, тогда, согласно индукции, теорема верна.Если
– -подгруппа, то будет порядка ввиду цикличности . Централизатор содержит . Как ранее показано, любая инвариантная подгруппа группы p-разрешима, поэтому из р-разрешимости и следует р-разрешимость группы .Если
, т.е. единственная значит является p-разрешимой.Теорема доказана.
Теорема 4.3 Пусть в группе G P – силовская р-подгруппа,
. Если для некоторого фиксированного натурального числа подгруппа с каждой силовской подгруппой из G, порядок которой взаимно прост с р, то G p-разрешима с .Доказательство:
Докажем теорему методом индукции по порядку группы G. Пусть G – минимальный контрпример, т.е. для всех групп порядков меньше
теорема верна. Покажем справедливость её для группы G.Вначале покажем, что в группе G нет инвариантных
-подгрупп. Действительно, пусть N – такая подгруппа, то, так как для условия теоремы выполняются, и G будут р-разрешимы.По теореме 2.1 группа G непроста.
Покажем, что любая инвариантная в G подгруппа N р-разрешима. Пусть N – инвариантная подгруппа группы G, индекс которой в G равен степени р. Тогда
для любой силовской подгруппы Q, порядок которой взаимно прост с р. Выберем в P такую максимальную подгруппу , чтобы , и рассмотрим подгруппу .Если
, то для подгруппы условия теоремы выполняются.Действительно, возьмём подгруппу
, имееми
Следовательно, подгруппа
, а также подгруппа р-разрешимы.Если
, то по Теореме 4.2 сама группаp-разрешима.
Пусть индекс подгруппы
в группе не равен степени р, тогдаРассмотрим подгруппу
. Для условия теоремы выполняются. Пусть – подгруппа порядка из Р, тогда имееми