Смекни!
smekni.com

Конечные группы с заданными перестановочными подгруппами (стр. 12 из 15)

Пусть

– инвариантная подгруппа
, тогда
для
и

Подгруппа

перестановочна с подгруппой
.

Действительно,

Если

является силовской р-подгруппой в
, то по теореме 4.1
p-разрешима, а следовательно, и
p-разрешима.

Если

не является силовской в
, то она максимальная в силовской подгруппе
. В том случае, когда
, по индукции
и
p-разрешимы.

Когда

. По подсчёту порядков имеем

и

– максимальная подгруппа в силовской р-подгруппе из
.

Если

, то выполняются для подгруппы
условия теоремы в виду

следовательно, по индукции

p-разрешима.

В случае

имеем

и из факторизации

следует
, что для циклической
невозможно.

Мы показали, что существует р-разрешимая инвариантная подгруппа группы

. Тогда минимальная инвариантная подгруппа
группы
– либо р-подгруппа, либо
-подгруппа.

Пусть

-подгруппа, тогда, согласно индукции, теорема верна.

Если

-подгруппа, то
будет порядка
ввиду цикличности
. Централизатор
содержит
. Как ранее показано, любая инвариантная подгруппа группы
p-разрешима, поэтому из р-разрешимости
и
следует р-разрешимость группы
.

Если

, т.е.
единственная значит
является p-разрешимой.

Теорема доказана.

Теорема 4.3 Пусть в группе G P – силовская р-подгруппа,

. Если для некоторого фиксированного натурального числа
подгруппа
с каждой силовской подгруппой из G, порядок которой взаимно прост с р, то G p-разрешима с
.

Доказательство:

Докажем теорему методом индукции по порядку группы G. Пусть G – минимальный контрпример, т.е. для всех групп порядков меньше

теорема верна. Покажем справедливость её для группы G.

Вначале покажем, что в группе G нет инвариантных

-подгрупп. Действительно, пусть N – такая подгруппа, то, так как для
условия теоремы выполняются,
и G будут р-разрешимы.

По теореме 2.1 группа G непроста.

Покажем, что любая инвариантная в G подгруппа N р-разрешима. Пусть N – инвариантная подгруппа группы G, индекс которой в G равен степени р. Тогда

для любой силовской подгруппы Q, порядок которой взаимно прост с р. Выберем в P такую максимальную подгруппу
, чтобы
, и рассмотрим подгруппу
.

Если

, то для подгруппы
условия теоремы выполняются.

Действительно, возьмём подгруппу

, имеем

и

Следовательно, подгруппа

, а также подгруппа
р-разрешимы.

Если

, то по Теореме 4.2 сама группа

p-разрешима.

Пусть индекс подгруппы

в группе
не равен степени р, тогда

Рассмотрим подгруппу

. Для
условия теоремы выполняются. Пусть
– подгруппа порядка
из Р, тогда имеем

и