Конечные группы с заданными перестановочными подгруппами (стр. 13 из 15)
Итак, подгруппа
р-разрешима и, следовательно, 
p-разрешима.Так как в группе G отсутствуют инвариантные
-подгруппы, то G содержит инвариантную р-подгруппу.Возьмём в группе G минимальную инвариантную подгруппу
с 
. Если 
, то пусть 
– инвариантная в 
подгруппа порядка 
и 
. Тогда 
инвариантна в 
для любой силовской подгруппы 
группы 
порядка, взаимно простого с р, и инвариантна в , что противоречит минимальности подгруппы 
. Таким образом, 
. В том случае, когда 
для 
, условия теоремы выполняются и 
, а следовательно, и 
p-разрешимы. Следовательно, 
.В том случае, когда
, по Теореме 4.2 имеем р-разрешимость 
. Следовательно, можно предположить, что 
.Предположим, что
. В этом случае всякая подгруппа 
группы 
, содержащая 
, не является циклической и, следовательно содержит две различные максимальные подгруппы 
и порядка 
. В связи с тем, что 
перестановочна со всякой силовской подгруппой 
, для 
, т.е. 
подгруппы
группы 
перестановочны с 
.Таким образом, для подгрупп порядка р условия теоремы для
выполняются и по индукции получаем р-разрешимость 
и .Итак, имеем
и, следовательно 
. Отсюда следует, что 
циклическая.Если
, то, так как 
инвариантна в группе , она р-разрешима и также 
p-разрешима. Таким образом, 
, т.е. 
.Группа
не содержит инвариантных 
-подгрупп, следовательно, 
является р-группой. Если все подгруппы порядка р содержатся в 
, то p-разрешима. Тогда можно предположить, что в 
содержится подгруппа 
, не принадлежащая .Пусть имеются
такие, что 
. Тогда, так как 
перестановочна с любой 
порядка, взаимно простого с p, по Теореме 4.1 p-разрешима.Следовательно
, 
и 
перестановочна со всеми сопряжёнными подгруппами с 
. Рассмотрим фактор-группу 
. Согласно Теореме 2.1 группа 
содержит собственную инвариантную подгруппу.Если
минимальная инвариантная подгруппа группы , то, так как 
p-разрешима, либо -группа, либо р-группа.Пусть
– -группа, тогда 
и 
является характеристической подгруппой в и поэтому инвариантна в группе 
. Получили противоречие, так как в группе нет инвариантных -подгрупп. Следовательно, 
– элементарная абилева р-группа.Из
следует, что 
. Группы 
циклические. Отсюда следует, что в группе
все силовские q-подгруппы для 
циклические.Так как
, то 
имеет циклическую силовскую 2-подгруппу и по теореме Бернсайда имеет инвариантное 2-дополнение, а по теореме Томпсона-Фейта будет разрешимой.