Из р-разрешимости
следует р-разрешимость . Из р-разрешимости следует существование в p-дополнения .Из условия теоремы следует, что подгруппы
из силовской р-подгруппы перестановочны с . По Теореме 2.1 .Теорема доказана.
Теорема 4.4 Группа
сверхразрешима тогда и только тогда, когда каждая её циклическая подгруппа -перестановочна с каждой максимальной подгруппой группы .Теорема 4.5 Группа
является нильпотентной тогда и только тогда имеет нильпотентную абнормальную подгруппа такую, что каждые две силовские подгруппы группы – -перестановочны.Доказательство:
Предположим, что утверждение ложно и пусть группа
имеет минимальный порядок. Тогда(1)
– нильпотентна для нормальной подгруппы группы .Пусть
И силовская -подгруппы в и силовская -подгруппа в соответственно. Пусть силовская -подгруппа в и силовская -подгруппа в . Тогда и – силовские подгруппы группы . Следовательно по предположению, что и – -перестановочные, а также по Теореме 3.6 – -перестановочна с . является нильпотентной подгруппой в и по Лемме 2.16 абнормальна в . Таким образом, наше предположение верно для . Поскольку , – нильпотентная по выбору группы .(2)
для каждой силовской подгруппы группы .Для любого
существует элемент такой, что , а также . Следовательно, .(3)
является разрешимой.Пусть
– простой делитель и силовская -подгруппа в . Пусть силовская -подгруппа в . Тогда по второму пункту доказательства , где , тогда по Лемме 2.17 , и следовательно . Так как – нильпотентная, то , а также . Таким образом, имеет абелеву минимальную нормальную подгруппу. По (1) – сверхразрешима, отсюда получаем (3).(4)
, где – нильпотентная максимальная подгруппа группы и является максимальной нормальной подгруппой в , где .В виду (1) и Леммы 2.15
имеет уникальную минимальную нормальную подгруппу и . Теперь используя Лемму 2.14 мы получаем (4).(5) Конечное противоречие.
По предположению
абнормальна в , таким образом по Лемме 2.16 – картерова подгруппа в . Ясно, что также является картеровой подгруппой в . Следовательно, по Лемме 2.14 получаем , для некоторого . Теперь предположим, что – силовская -подгруппа в , где – простой делитель , отличный от . Тогда , и по (2), , что противоречит Лемме 2.18.