Смекни!
smekni.com

Конечные группы с заданными перестановочными подгруппами (стр. 14 из 15)

Из р-разрешимости

следует р-разрешимость
. Из р-разрешимости следует существование в
p-дополнения
.

Из условия теоремы следует, что подгруппы

из силовской р-подгруппы
перестановочны с
. По Теореме 2.1
.

Теорема доказана.

Теорема 4.4 Группа

сверхразрешима тогда и только тогда, когда каждая её циклическая подгруппа
-перестановочна с каждой максимальной подгруппой группы
.

Теорема 4.5 Группа

является нильпотентной тогда и только тогда
имеет нильпотентную абнормальную подгруппа
такую, что каждые две силовские подгруппы группы
-перестановочны.

Доказательство:

Предположим, что утверждение ложно и пусть группа

имеет минимальный порядок. Тогда

(1)

– нильпотентна для нормальной подгруппы
группы
.

Пусть

И
силовская
-подгруппы в
и силовская
-подгруппа в
соответственно. Пусть
силовская
-подгруппа в
и
силовская
-подгруппа в
. Тогда
и
– силовские подгруппы группы
. Следовательно по предположению, что
и
-перестановочные, а также по Теореме 3.6
-перестановочна с
.
является нильпотентной подгруппой в
и по Лемме 2.16
абнормальна в
. Таким образом, наше предположение верно для
. Поскольку
,
– нильпотентная по выбору группы
.

(2)

для каждой силовской подгруппы
группы
.

Для любого

существует элемент
такой, что
, а также
. Следовательно,
.

(3)

является разрешимой.

Пусть

– простой делитель
и
силовская
-подгруппа в
. Пусть
силовская
-подгруппа в
. Тогда по второму пункту доказательства
, где
, тогда по Лемме 2.17
, и следовательно
. Так как
– нильпотентная, то
, а также
. Таким образом,
имеет абелеву минимальную нормальную подгруппу. По (1)
– сверхразрешима, отсюда получаем (3).

(4)

, где
– нильпотентная максимальная подгруппа группы
и
является максимальной нормальной подгруппой в
, где
.

В виду (1) и Леммы 2.15

имеет уникальную минимальную нормальную подгруппу
и
. Теперь используя Лемму 2.14 мы получаем (4).

(5) Конечное противоречие.

По предположению

абнормальна в
, таким образом
по Лемме 2.16
– картерова подгруппа в
. Ясно, что
также является картеровой подгруппой в
. Следовательно, по Лемме 2.14 получаем
, для некоторого
. Теперь предположим, что
– силовская
-подгруппа в
, где
– простой делитель
, отличный от
. Тогда
, и по (2),
, что противоречит Лемме 2.18.