Конечные группы с заданными перестановочными подгруппами (стр. 2 из 15)

– цоколь группы ;

– коммутатор элементов и ;

– коммутант группы G;

– множество всех простых чисел;

– дополнение к во множестве , где – некоторое множество простых чисел;

– -длина группы .

Введение

Напомним, что подгруппа

группы перестановочна с подгруппой , если . Если перестановочна со всеми подгруппами группы , то она называется перестановочной [6] или квазинормальной в [7].

Так как для двух перестановочных подгрупп

и произведение также является подгруппой в , то понятие перестановочных подгрупп является одним из наиболее важных обобщений понятия нормальных подгрупп.

Перестановочные подгруппы имеют много интересных свойств. Как известно, например, что каждая перестановочная подгруппа является восходящей [8] и, если она является перестановочной подгруппой в некоторой конечной порождённой группе

, то субнормальна в [8].

Но фактически эти два результата были получены как обобщения следующего наблюдения: каждая перестановочная подгруппа конечной группы является субнормальной [7].

Разрабатывая этот результат Ito и Szep доказали, что для каждой перестановочной подгруппы

конечной группы , – нильпотентна [9].

Немного позже было доказано, что при таких условиях,

[18].

При некоторых естественных условиях мы встречаемся с ситуацией, когда некоторые подгруппы

и группы неперестановочны, но существует подгруппа такая, что для некоторого .

Основываясь на этом наблюдении мы дадим следующие определения.

Определение 1 Пусть

, – подгруппы группы и . Тогда мы говорим, что:

(1)

является -перестановочной с , если для некоторого имеем .

(2)

является наследственно -перестановочной с , если для некоторого .

Заметим, что

– перестановочные подгруппы также являются перестановочными подгруппами. Во втором приведённом случае мы имеем дело с -перестановочными подгруппами, которые были исследованы и использованы в [].

Определение 2 Подгруппа

группы называется (наследственно) -перестановочной, если она (наследственно) перестановочна со всеми подгруппами группы .

Целью данной работы является изложение некоторых известных разделов теории перестановочных подгрупп, изучение и применение некоторых свойств

-перестановочных подгрупп.

1. Необходимые определения и обозначения

Бинарной алгебраической операцией на множестве

называют отображение декартова квадрата во множество . Если – бинарная операция на , то каждой упорядоченной паре элементов из соответствует однозначно определенный элемент . Бинарную операцию на обозначают одним из символов: и т.д. Если, например, вместо условимся писать , то вместо пишем .

Говорят, что на множестве X определена бинарная операция (умножение), если

для всех .

Если

для всех , то операция называется ассоциативной.

Если

для всех , то операция называется коммутативной.

Элемент

называется единичным, если для всех .

Обратным к элементу

называется такой элемент , что .