Конечные группы с заданными перестановочными подгруппами (стр. 3 из 15)

Полугруппой называется непустое множество

с бинарной алгебраической операцией (умножение), удовлетворяющей следующим требованиям:

(1) операция определена на

, т.е. для всех и ;

(2) операция ассоциативна, т.е.

для любых .

Группой называется непустое множество

с бинарной алгебраической операцией (умножением), удовлетворяющей следующим требованиям:

(1) операция определена на

, т.е. для всех и ;

(2) операция ассоциативна, т.е.

для любых ;

(3) в

существует единичный элемент, т.е. такой элемент , что для всех ;

(4) каждый элемент обладает обратным, т.е. для любого

существует такой элемент , что .

Группу с коммутативной операцией называют коммутативной или абелевой.

Если G – конечное множество, являющееся группой, то G называют конечной группой, а число

элементов в – порядком группы .

Также группой называется непустое множество

с бинарной алгебраической операцией (умножением), удовлетворяющей следующим требованиям:

(1) операция определена на

;

(2) операция ассоциативна;

(3) уравнения

, имеют решения для любых элементов .

Подмножество

группы называется подгруппой, если – группа относительно той же операции, которая определена на группе . Для подгруппы используется следующее обозначение: . Запись читается так: – подгруппа группы .

Также можно дать следующее определение подгруппы конечной группы. Непустое подмножество

конечной группы называется подгруппой, если для всех и

Каждая группа

обладает единичной подгруппой . Сама группа также считается подгруппой в . Эти подгруппы называют тривиальными подгруппами. Нетривиальная подгруппа группы это такая подгруппа из , которая отлична от и отлична от единичной подгруппы .

Собственной называется подгруппа, отличная от группы.

Пусть

– подмножество группы и . Через

обозначим подмножество всех элементов группы

вида , где пробегает все элементы множества . Подмножество называется подмножеством, сопряженным подмножеству посредством элемента .

Подгруппа

называется подгруппой, сопряженной подгруппе посредством элемента .

Пусть

– непустое подмножество группы . Совокупность всех элементов группы , перестановочных с каждым элементом множества , называется централизатором множества в группе и обозначается через . Таким образом,

Центром группы

называется совокупность всех элементов группы , перестановочных с каждым элементом группы . Центр группы обозначается через . Ясно, что , т.е. центр группы совпадает с централизатором подмножества в группе . Кроме того,

Зафиксируем элемент

в группе . Пересечение всех подгрупп группы , содержащих элемент , назовем циклической подгруппой, порожденной элементом , и обозначим через . Таким образом,