Можно дать следующее определение прямого произведения, эквивалентное начальному. Группа
является прямым произведением своих подгрупп и , если:– каждый элемент
единственным образом представим в виде , где , ;– каждый элемент подгруппы
перестановочен с каждым элементом подгруппы .Определение прямого произведения сформулировано для двух подгрупп. Для большего числа сомножителей определение выглядит так.
Минимальной нормальной подгруппой группы
называют такую нормальную подгруппу группы , что и в нет нетривиальных нормальных подгрупп группы . Запись означает, что – минимальная нормальная подгруппа группы . Таким образом, если , то и из условий следует, что или . Очевидно, что в каждой неединичной конечной группе имеется минимальная нормальная подгруппа.Группа называется сверхразрешимой, если она обладает нормальным рядом с циклическими факторами.
Цоколем группы G называется подгруппа, являющаяся произведением всех минимальных нормальных подгрупп группы G. Цоколь группы G обозначают через
. Таким образом,Группа называется нильпотентной, если все ее силовские подгруппы нормальны.
Элементарной абелевой p-группой называют группу, являющуюся прямым произведением подгрупп порядка
.Собственная подгруппа
неединичной группы называется максимальной подгруппой, если не содержится ни в какой другой подгруппе, отличной от всей группы , т.е. если из условия следует, что или . Для максимальной подгруппы неединичной группы используется записьВ абелевой группе любые два элемента перестановочны. Если группа неабелева, то в ней существуют неперестановочные элементы, т.е. такие элементы
и , что . Поэтому естественно рассмотреть элемент , для которого . Отсюда .Коммутатором элементов
и называют элемент , который обозначают через . Ясно, что .Подгруппа, порождённая коммутаторами всех элементов группы
, называется коммутантом группы и обозначается через . Таким образом,Для любой неединичной подгруппы
можно построить цепочку коммутантовЕсли существует номер
такой, что , то группа называется разрешимой.Говорят, что подгруппа
группы дополняема в , если существует такая подгруппа , что и . В этом случае подгруппу называют дополнением к подгруппе в группе .Пусть
– множество всех простых чисел, а – некоторое множество простых чисел, т.е. . Дополнение к во множестве обозначим через , т.е. .Зафиксируем множество простых чисел
. Если , то число называется -числом.Подгруппа
группы называется -подгруппой, если есть -число. Подгруппа называется -холловой подгруппой, если есть -число, а индекс есть -число. Таким образом, -холлова подгруппа – это такая -подгруппа, индекс которой не делится на простые числа из .