Смекни!
smekni.com

Конечные группы с заданными перестановочными подгруппами (стр. 6 из 15)

Можно дать следующее определение прямого произведения, эквивалентное начальному. Группа

является прямым произведением своих подгрупп
и
, если:

– каждый элемент

единственным образом представим в виде
, где
,
;

– каждый элемент подгруппы

перестановочен с каждым элементом подгруппы
.

Определение прямого произведения сформулировано для двух подгрупп. Для большего числа сомножителей определение выглядит так.

Минимальной нормальной подгруппой группы

называют такую нормальную подгруппу
группы
, что
и в
нет нетривиальных нормальных подгрупп группы
. Запись
означает, что
– минимальная нормальная подгруппа группы
. Таким образом, если
, то
и из условий
следует, что
или
. Очевидно, что в каждой неединичной конечной группе имеется минимальная нормальная подгруппа.

Группа называется сверхразрешимой, если она обладает нормальным рядом с циклическими факторами.

Цоколем группы G называется подгруппа, являющаяся произведением всех минимальных нормальных подгрупп группы G. Цоколь группы G обозначают через

. Таким образом,

Группа называется нильпотентной, если все ее силовские подгруппы нормальны.

Элементарной абелевой p-группой называют группу, являющуюся прямым произведением подгрупп порядка

.

Собственная подгруппа

неединичной группы
называется максимальной подгруппой, если
не содержится ни в какой другой подгруппе, отличной от всей группы
, т.е. если из условия
следует, что
или
. Для максимальной подгруппы
неединичной группы
используется запись

В абелевой группе любые два элемента перестановочны. Если группа неабелева, то в ней существуют неперестановочные элементы, т.е. такие элементы

и
, что
. Поэтому естественно рассмотреть элемент
, для которого
. Отсюда
.

Коммутатором элементов

и
называют элемент
, который обозначают через
. Ясно, что
.

Подгруппа, порождённая коммутаторами всех элементов группы

, называется коммутантом группы
и обозначается через
. Таким образом,

Для любой неединичной подгруппы

можно построить цепочку коммутантов

Если существует номер

такой, что
, то группа
называется разрешимой.

Говорят, что подгруппа

группы
дополняема в
, если существует такая подгруппа
, что
и
. В этом случае подгруппу
называют дополнением к подгруппе
в группе
.

Пусть

– множество всех простых чисел, а
– некоторое множество простых чисел, т.е.
. Дополнение к
во множестве
обозначим через
, т.е.
.

Зафиксируем множество простых чисел

. Если
, то число
называется
-числом.

Подгруппа

группы
называется
-подгруппой, если
есть
-число. Подгруппа
называется
-холловой подгруппой, если
есть
-число, а индекс
есть
-число. Таким образом,
-холлова подгруппа – это такая
-подгруппа, индекс которой не делится на простые числа из
.