Конечные группы с заданными перестановочными подгруппами (стр. 7 из 15)

Подгруппа

группы называется холловой подгруппой, если – -холлова подгруппа для некоторого множества . Другими словами, – холлова подгруппа тогда и только тогда, когда

-Холлову подгруппу, если она существует в группе , называют -дополнением.

Подгруппа

разрешимой группы называется картеровой подгруппой группы , если нильпотентна и .

Произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы

называют подгруппой Фиттинга группы и обозначают через .

Силовская система группы

полностью задаётся силовскими -подгруппами группы для любого , удовлетворяющего для всех , .

Две силовские системы

и из называются сопряженными, если там существует элемент такой, что для всех .

Напомним, что подгруппа

группы называется абнормальной если и сопряжены в в для любого .

2. Используемые результаты

Теорема 2.1 Конечная группа

тогда и только тогда непроста, когда она содержит такие подгруппы и , , что перестановочна с каждой сопряжённой с в подгруппой , и, кроме того, . или тогда содержаться в некотором собственном нормальном делителе группы .

Теорема 2.2 (Бернсайда) Группа

порядка разрешима для любых .

Теорема 2.3 (Томпсона – Фейта) Группы нечётного порядка разрешимы.

Теорема 2.4 (Теорема о соответствии) Пусть

– нормальная подгруппа группы . Тогда:

(1) если

– подгруппа группы и , то – подгруппа факторгруппы ;

(2) каждая подгруппа факторгруппы

имеет вид , где – подгруппа группы и ;

(3) отображение

является биекцией множества S на множество S ;

(4) если

S , то – нормальная подгруппа группы тогда и только тогда, когда – нормальная подгруппа факторгруппы .

Теорема 2.5 (Силов) Пусть конечная группа

имеет порядок , где – простое число и не делит . Тогда справедливы следующие утверждения:

(1) в группе

существует подгруппа порядка для каждого ;

(2) если

– -подгруппа группы и – подгруппа порядка , то существует такой элемент , что ;