Конечные группы с заданными перестановочными подгруппами (стр. 8 из 15)

(3) любые две подгруппы порядка

сопряжены в группе ;

(4) число подгрупп порядка

в группе сравнимо с единицей по модулю и делит .

Лемма 2.6 Пусть конечная группа

имеет порядок , где – простое число и не делит . Тогда:

(1) существует силовская

-подгруппа и её порядок равен ;

(2) каждая

-подгруппа содержится в некоторой силовской -подгруппе;

(3) любые две силовские

-подгруппы сопряжены;

(4) число силовских

-подгрупп сравнимо с единицей по модулю и делит .

Теорема 2.7 Для конечной группы

и её силовской -подгруппы справедливы следующие утверждения:

(1) если

, то – силовская -подгруппа в , а – силовская -подгруппа в ;

(2)

;

(3) если

и , то

и

(4) пусть

– все простые делители порядка группы при , и пусть – соответствующие им силовские подгруппы. Тогда

а если

, то .

Теорема 2.8 Пусть группа

является прямым произведением своих подгрупп и . Тогда:

(1) каждый элемент

единственным образом представим в виде , где , ;

(2) каждый элемент подгруппы

перестановочен с каждым элементом подгруппы .

Обратно, если выполняются требования (1) и (2), то

, подгруппы и нормальны в , и .

Теорема 2.9

(1) В каждой группе минимальная нормальная подгруппа характеристически простая.

(2) Характеристически простая группа является прямым произведением изоморфных простых групп.

Теорема 2.10 Для группы

следующие требования эквивалентны:

(1)

– нильпотентная группа;

(2)

– прямое произведение своих силовских подгрупп;

(3) каждая собственная подгруппа отлична от своего нормализатора;

(4) все максимальные подгруппы нормальны;

(5) все подгруппы группы

субнормальны.

Теорема 2.11

(1) В разрешимой неединичной группе минимальная нормальная подгруппа является элементарной абелевой

-подгруппой для некоторого простого .

(2) В разрешимой неединичной группе максимальные подгруппы имеют примарные индексы.

(3) Главные факторы разрешимой неединичной группы являются элементарными абелевыми примарными группами.

(4) Композиционные факторы разрешимой неединичной группы имеют простые порядки.

Теорема 2.12

(1) Если группа

содержит нормальную циклическую подгруппу и факторгруппа сверхразрешима, то группа сверхразрешима.

(2) Если факторгруппа

сверхразрешима, то группа сверхразрешима.

(3) Нильпотентная группа сверхразрешима.

Лемма 2.13 Пусть

– разрешимая группа. Тогда имеют место следующие утверждения:

(1)

имеет силовские системы и всякие две силовские системы группы сопряжены в .

(2) Если

и будет силовской системой в , тогда существует силовская система , такая что для всех .

(3) Если

– силовская система в и . Тогда покрывает каждый центральный главный ряд группы .

Лемма 2.14 Пусть

разрешимая группа, тогда: