Конечные группы с заданными перестановочными подгруппами (стр. 9 из 15)

(1)

имеет картерову подгруппу и любые две картеровы подгруппы из сопряжены;

(2)

;

(3) если

и цоколь – минимальная нормальная подгруппа группы , тогда

где

.

Лемма 2.15 Пусть

– группа, . Тогда справедливы следующие утверждения:

(1) Если

сверхразрешима, то и является -замкнутой, где – наибольший общий делитель ;

(2) Если

, сверхразрешимы, то является сверхразрешимой;

(3)

сверхразрешима, тогда и только тогда, когда является простым для каждой максимальной подгруппы группы .

Лемма 2.16 Если

и – абнормальная подгруппа группы . То справедливы следующие утверждения:

(1)

абнормальна в .

(2) Если

, то абнормальна в .

Лемма 2.17. Если

и – простое число, то существует такие силовские -подгруппы , и в , и соответственно, для которых .

Лемма 2.18. Пусть

, подгруппы группы и . Тогда для всех .

3. Определения, примеры и общие свойства

-перестановочных подгрупп

Напомним, что подгруппа

группы перестановочна с подгруппой , если . Если перестановочна со всеми подгруппами группы , то она называется перестановочной [] или квазинормальной в [].

Так как для двух перестановочных подгрупп

и произведение также является подгруппой в , то понятие перестановочных подгрупп является одним из наиболее важных обобщений понятия нормальных подгрупп.

Перестановочные подгруппы имеют много интересных свойств. Как известно, например, что каждая перестановочная подгруппа является восходящей [] и, если она является перестановочной подгруппой в некоторой конечной порождённой группе

, то субнормальна в [].

Но фактически эти два результата были получены как обобщения следующего наблюдения: каждая перестановочная подгруппа конечной группы является субнормальной [].

Разрабатывая этот результат Ito и Szep доказали, что для каждой перестановочной подгруппы

конечной группы , – нильпотентна [].

Немного позже было доказано, что при таких условиях,

[].

При некоторых естественных условиях мы встречаемся с ситуацией, когда некоторые подгруппы

и группы неперестановочны, но существует подгруппа такая, что для некоторого .

Основываясь на этом наблюдении мы дадим следующие определения.

Определение 3.1 Пусть

, – подгруппы группы и . Тогда мы говорим, что:

(1)

является -перестановочной с , если для некоторого имеем .

(2)

является наследственно -перестановочной с , если для некоторого .

Заметим, что

-перестановочные подгруппы будут являются просто перестановочными подгруппами. Во втором приведённом случае мы имеем дело с -перестановочными подгруппами, которые были исследованы и использованы в [].