Линейное и динамическое программирование (стр. 5 из 8)

Сведем результаты в 4 таблицы. Теперь F₄(7)=141 показывает максимальный суммарный эффект по всем 4-м фирмам, a z₄(7)=100 тыс. руб. - размер инвестиций в 4-ю фирму для достижения этого максимального эффекта. На долю остальных трех предприятий остается 600 тыс. руб.

Третьему предприятию должно быть выделено х*₃=Х₃(700-х*₄)=Х₃(600)=100 тыс. руб.

Продолжая обратный процесс, находим х*₂=Х₂(700-х*₄-х*₃)=Х₂(500)=200 тыс. руб.

На долю первого предприятия остается х*₁=700-х*₄-х*₃-х*₂=300 тыс. руб.

Таким образом, наилучшим является следующее распределение капитальных вложений по предприятиям:

х*₁ =300; х*₂ =200; х*₃ = 100; х*₄ = 100.

Оно обеспечивает производственному объединению наибольший возможный прирост прибыли 141 тыс. руб.

Анализ доходности и риска финансовых операций

Финансовой называется операция, начальное и конечное состояния которой имеют денежную оценку и цель проведения которой заключается в максимизации дохода - разности между конечной и начальной оценками.

Почти всегда финансовые операции проводятся в условиях неопределенности и потому их результат невозможно предсказать заранее. Поэтому финансовые операции рискованны, т.е. при их проведении возможны как прибыль, так и убыток.

Существует несколько разных способов оценки операции с точки зрения доходности и риска. Наиболее распространенным является представление дохода операции как случайной величины и оценка риска операции как среднего квадратического отклонения этого случайного дохода. Однако количественно оценить риск возможно лишь если операция вероятностно характеризуема, т.е. ее доход есть случайная величина - это предполагает возможность неоднократного повторения этой операции. Итак, пусть доход от операции Q есть случайная величина, которую будем обозначать также как и саму операцию Q. Математическое ожидание М[Q] называют еще средним ожидаемым доходом, а риск операции r отождествляют со средним квадратическим отклонением, т.е. квадратным корнем из дисперсии D[Q].

Рассмотрим четыре операции Q₁, Q₂, Q₃, Q₄. Найдем средние ожидаемые доходы Q_i и риски r_i, операций.

; ;

; .

Q1:	0	1	2	8
1/3	1/3	1/6	1/6

Q₁=0×¹/₃+1×¹/₃+2×¹/₆+8×¹/₆=2

M[Q₁²]= 0² ×¹/₃+1² ×¹/₃+2² ×¹/₆+8² ×¹/₆=11,7

D[Q₁]= 11,7-2²=7,7

r₁=2,77

Q2:	2	3	4	10
1/3	1/3	1/6	1/6

Q₂=4

M[Q₂²]=23,7

D[Q₂]=7,7

r₂=2,77

Q3:	0	4	6	10
1/5	1/5	1/5	2/5

Q₃=6

M[Q₃²]=50,4

D[Q₃]=14,4

r₃=3,8

Q4:	2	6	8	12
1/5	1/5	1/5	2/5

Q₄=8

M[Q₄²]=78,4

D[Q₄]=14,4

r₄=3,8

Нанесем средние ожидаемые доходы Q и риски r на плоскость - доход откладываем по горизонтали, а риски по вертикали (см. график 3);

Получили 4 точки. Чем правее точка (Q,r), тем более доходная операция, чем точка выше - тем более она рисковая. Значит, нужно выбирать точку правее и ниже. Точка (Q',r') доминирует над точкой (Q,r) если Q'>Q и r'<r и хотя бы одно из этих неравенств строгое.

Точка, не доминируемая никакой другой, называется оптимальной по Парето, а множество всех таких точек называется множеством оптимальности по Парето. Легко видеть, что если из рассмотренных операций надо выбирать лучшую, то ее обязательно надо выбрать из операций, оптимальных по Парето.

Для нахождения лучшей операции применяют взвешивающую формулу j(Q_i)=2Q_i-r_i, которая для пар (Q,r) дает одно число, по которому и определяют лучшую операцию.

j(Q₁)=2×2-2,8=1,2 j(Q₂)=6,2

j(Q₃)=8,2 j(Q₄)=12,2

Наибольшее значение j соответствует лучшей операции, наименьшее – худшей. В нашем случае наилучшей является операция №4, худшей – операция №1.

Матричная игра 2х4

Рассмотрим игру для двух лиц с нулевой суммой. Пусть П и В – первый и второй игроки соответственно, а матрица А – платежная матрица, каждый элемент которой по абсолютной величине является выигрышем/ проигрышем, уплачиваемым игроками друг другу в соответствии с их договоренностью. Цель игроков – максимизировать выигрыш. При этом предполагается, что будет сыграно достаточно много партий, так что задача заключается в получении максимального выигрыша в среднем за партию. Каждый из игроков использует наилучшие для себя стратегии. Стратегия называется чистой, если выбор игрока неизменен от партии к партии, и смешанной, если выбор i-ой строки производится с некоторой вероятностью p_i.

Рассмотрим графическое решение игры 2х4 с матрицей

В

П

®

Седловой точки в чистых стратегиях нет.

В строках доминирования нет.

3-ий столбец доминирует над 1-ым.

Обозначим искомую оптимальную стратегию первого игрока П - (х, 1-х), где

х – вероятность выбора первой строки

(1-х) – вероятность выбора второй строки

0 £ x £ 1

Пусть П играет в смешанных стратегиях, а В отвечает чистыми:

n₁(х)= 2х-2(1-х) (1)

n₂(х)= -2х+(1-х) (2)

n₄(х)= -5х+3(1-х) (4)

n₁(х)= 3х-2

n₂(х)= -3х+1

n₄(х)= -8х+3

т. В(х*, n*)

т. В: n₁=n₄

3х-2= -8х+3

11х=5

х*=⁵/₁₁

n(х*)=×¹⁵/₁₁-2= -⁷/₁₁

р*(⁵/₁₁; 1-⁵/₁₁)=р*(⁵/₁₁; ⁶/₁₁) – оптимальная смешанная стратегия для П

Ищем оптимальную смешанную стратегию для В.

q(y, 0, 0, 1-y)

p₁* = ⁵/₁₁>0

Рассматриваем вариант, когда В играет в смешанных стратегиях, а П – в чистых стратегиях выбирает первую строку.

-⁷/₁₁= 2y-5(1-y)

y*= ⁴⁸/₇₇

q*=(⁴⁸/₇₇, 0, 0, ²⁹/₇₇) – оптимальная смешанная стратегия В

Анализ модели краткосрочного страхования жизни

В страховой компании застраховано N₁=900 человек в возрасте 45 лет и N₂=550 человек в возрасте 55 лет сроком на один год. Компания выплачивает наследникам: 100000 руб., в случае смерти застрахованного от несчастного случая, и 25000 руб., в случае смерти от естественных причин в течение года. Компания не платит ничего, если человек проживет этот год. Предположим, что смертность описывается моделью Мейкхама и рассчитаем нетто-премию, цену полиса, страховую надбавку, чтобы вероятность неразорения компании составляла 0,95.

Индивидуальные иски x

и x каждого из застрахованных 1-ой и 2-ой групп определяются, соответственно, рядами распределения (для удобства за денежную единицу примем 100000 руб.).

0 ¼ 1 (1)

x

=0,9982 =0,0013 =0,0005

0 ¼ 1

x