Линейное и динамическое программирование (стр. 7 из 8)

с учетом средних индивидуальных исков (2) равно:

Мx = N1*Mx

+ N2* Мx =400*0,00083+1000*0,0016=

= 0,332 + 1,6 » 1,9 = 190000 руб. (8)

Дисперсию x в виду независимости x

и x вычислим по формуле:

Dx =

Dx + Dx » 400*0,00058 + 1000*0,00078=

=0,23 + 0,78 = 1,01. (9)

Здесь:

Dx

= М(x ) - М x = 0,00058 – (0,00083) » 0,00058 ,

(10)

Dx

= М(x ) - М x = 0,00078 – (0,0016) » 0,00078 ,

где с помощью рядов распределения (1) имеем:

М(x

) = 1/16*0,0013 + 1*0,0005 » 0,00058 ,

(11)

М(x

) = 1/16*0,0044 +1*0,0005 » 0,00078.

На основании центральной предельной теоремы функция распределения нормированной случайной величины:

S = (x - Mx)/ ,

при N1 + N2 ® Ґ имеет предел

F(x) = (1/

)* dz

Для гауссовского приближения случайной величины x верна следующая цепочка равенств:

Р(x < x) = Р((x - Мx)/

Ј (х - Мx)/ ) » F((x - Mx)/ ) ,

где х – капитал компании.

Для того чтобы вероятность неразорения компании не превосходила 0,95, т.е.

F((x - Mx)/

) і 0,95 должно быть выполнено соотношение

(х - Mx)/

і х , (12)

здесь х

» 1,645 – квантиль уровня 0,95 стандартного гауссовского распределения.

Нетрудно убедиться в том, что минимально необходимый капитал компании должен составлять:

х=Мx+х

* »1,9+1,645*1,005=1,9+1,65=3,55=355000руб., (13)

а относительная страховая надбавка составляет:

х

* /Мx*100%=1,65/1,9*100%»86,8% (14)

Индивидуальные страховые надбавки r

и r , цены полисов Р и Р для клиентов 1-ой и 2-ой групп с учетом (2), очевидно будут равны (страховые надбавки пропорциональны нетто-премиям):

r

= 0,68*83 руб. » 56 руб.;

r

= 0,68*160 руб. » 109 руб.;

(15)

Р

= Р + r »83 руб. + 56 руб. = 139 руб.;

Р

= Р + r »160 руб. + 109 руб. = 269 руб.

III. Проанализируем результаты, полученные в п.п. I и II. Очевидно расхождение результатов, полученных при использовании пуассоновского и гауссовского приближений. Попытаемся разобраться, в чем причина этого различия.

Дело в том, что при использовании закона Пуассона замена рядов распределения (1) на ряды распределения (3) привела к тому, что не изменились лишь математические ожидания Мx

и Мx . В то же время дисперсии Dx и Dx , свидетельствующие о степени рассеяния случайных исков x и x , найденных по рядам распределения (1) и (3), различны. Следовательно, различны и дисперсии Dx, найденные по рядам распределения (1) и (3). Действительно, дисперсия общего суммарного иска x по рядам (1) подсчитана: Dx = 1,24 (см. соотношение (9) ).

Вычислим дисперсию x по рядам распределения (3), т.е.

0 0,458 0 0,327

x : x : (16)

0,9982 0,0018 0,9962 0,0049

Проведя расчеты, аналогичные (9-11), получим:

Dx =

Dx + Dx » 400*0,00038 + 1000*0,00052 = 0,67. (17)

Здесь:

Dx

= М(x ) - М x = 0,00038 – (0,00083) » 0,00038 ,

(18)

Dx

= М(x ) - М x = 0,00052 – (0,0016) » 0,00052 ,

причем:

М(x

) = 0,458 *0,0018 » 0,00038 ,

(19)

М(x

) = 0,327 *0,0049 » 0,00052.

В дальнейшем будем использовать следующие обозначения: дисперсию x, найденную с использованием рядов (1), обозначим s

, а дисперсию x, найденную по рядам (3) или (16), обозначим s . Таким образом, s = 1,01, а s = 0,67.