Экономико-математическое моделирование (стр. 4 из 7)

(18)

i – номер (вид) заготовки;

n – общее количество разновидностей заготовок;

j – способ раскроя;

m – общее количество способов раскроя;

b_ij – количество выкраиваемых заготовок;

В_i – количество штук заготовок i вида;

X_j – количество исходного материала, который необходимо раскроить j способом;

P_j- величина отходов при данном j-м способе раскроя.

4.8. Экономическая интерпретация двойственных задач линейного программирования.

При моделировании экономических систем и процессов, когда характер системы до конца не изучен, или же система сложная, прибегают к упрощению модели и представлению ее в виде линейной (прямой или обратной).

Исходная модель предполагает, сколько и какой продукции необходимо изготовить с заданной стоимостью c_j(j=

) и при заданных ресурсах b_i(i=

) и получить максимальную прибыль в стоимостном выражении.

Двойственная (обратная) задача предполагает оценку стоимости единицы каждого из ресурсов, чтобы при заданном количестве ресурсов b_i и стоимости единицы продукции c_jминимизировать общую стоимость затрат.

Экономические системы, как правило, являются вероятностными (стохастическими), так как выходные параметры системы случайным образом зависят от входных параметров.

Почему экономические системы являются стохастическими:

1) так как система сложная, многокритериальная многоуровневая иерархическая структура;

2) система подвержена влиянию внешних факторов (погодные условия, внешняя политика);

3) преднамеренное искажение информации, сокрытие информации и целенаправленная экономическая диверсия.

Исходя из того, что экономическая система сложная и имеет случайную компоненту e,

поэтому оптимизация целевой функции ведется по среднему значению, то есть при заданных параметрах a необходимо найти решение хÎC, когда значение целевой функции по возможности будет максимальным.

Сложные системы описываются Марковским аппаратом, то есть когда поведение системы в момент t₀ характеризуется вероятностью первого порядка p(х₀, t₀) и поведение системы в будущем зависит от значения системы х₀и не зависит от того, когда и как система пришла в это состояние.

Марковские случайные процессы описываются двумя параметрами:

p_ijхарактеризует значение системы х₂ в момент t₂, при условии, что в момент t₁ система имела значение х₁.

Имея в своем распоряжении матрицу условных переходов

можно заранее сформулировать поведение системы в будущем.

Марковские случайные процессы называют Марковскими цепями с вероятностью перехода в p_ij, когда процесс изучается в дискретные моменты времени.

Применяется в случаях, когда нельзя заформализовать модель (описать аналитическим выражением) и в случае, когда система представляет собой многопараметрическую вероятностную экономическую систему. Кроме того, моделирование с помощью имитационных подходов применяется для систем больших размерностей и с большими внутренними связями.

1) анализ моделируемой систем, сбор необходимой информации, выделение проблемной области исследования и постановка задач на исследование;

2) синтезирование (формирование, получение) необходимой математической модели области допустимых упрощений (ограничений), выбор критериев оценки эффективности и точности моделирования;

3) разработка имитационной модели, алгоритма ее реализации, внутреннее и внешнее математическое обеспечение;

4) оценка адекватности имитационной модели и контроль результатов экстремумов с последующей валидацией модели;

5) анализ результатов моделирования с целью достижения заданной точности моделирования.

При создании модели необходимо максимально использовать те параметры системы, которые поддаются формализации, то есть записи с помощью аналитических выражений.

Данный метод родился в 1949 году благодаря усилиям американских ученых Дж. Неймана и Стива Улана в городе Монте-Карло (княжество Монако).

Метод Монте-Карло – численный метод решения математических задач при помощи моделирования случайных чисел.

Суть метода состоит в том, что посредствам специальной программы на ЭВМ вырабатывается последовательность псевдослучайных чисел с равномерным законом распределения от 0 до1. Затем данные числа с помощью специальных программ преобразуются в числа, распределенные по закону Эрланга, Пуассона, Релея и т.д.

Полученные таким образом случайные числа используются в качестве входных параметров экономических систем :

При многократном моделировании случайных чисел, которые мы используем в качестве входных параметров системы (модели), определяем математическое ожидание функции M(Q) и, при достижении средним значением функции Q уравнения не ниже заданного, прекращаем моделирование.

Статистические испытания (метод Монте-Карло) характеризуются основными параметрами:

P – вероятность достижения заданной точности;

N – количество необходимых испытаний для получения заданной точности с заданной вероятностью.

Определим необходимое число реализаций N, тогда

(1 - D) будет вероятность того, что при одном испытании результат не достигает заданной точности D;

(1 - D) N – вероятность того, что при N испытаниях мы не получим заданной точности D.

Тогда вероятность получения заданной точности при N испытаниях можно найти по формуле

Формула (19) позволяет определить заданное число испытаний для достижения заданной точности D с заданной вероятностью Р.