Інтегральні характеристики векторних полів (стр. 1 из 4)

інтегральні характеристики векторних полів

1. Диференціальні операції другого порядку

Нехай в області

задані скалярне поле і векторне поле , причому функції мають в області неперервні частинні похідні другого порядку. Тоді і є диференційовними векторними полями, а – диференційовним скалярним полем.

До векторних полів

і можна застосувати операції обчислення дивергенції і ротора, а до скалярного поля – операцію обчислення градієнта. Таким чином, отримуємо повторні операції:

.

Операцію

називають оператором Лапласа і позначають також символом :

.

З допомогою оператора Гамільтона оператор Лапласа записується у вигляді

.

Враховуючи, що

,

дістаємо

.

Функція

, яка задовольняє в деякій області рівняння Лапласа , називається гармонічною в цій області. Наприклад, лінійна функція є гармонічною в довільній області. Оператор Лапласа широко застосовується в рівняннях математичної фізики. Відзначимо, зокрема, що потенціал електричного поля точкового заряду або поля тяжіння точкової маси, який має вигляд , при задовольняє рівняння Лапласа:

(потенціальне векторне поле

є безвихровим) і

(векторне поле

є соленоїдальним).

1. Дві інші повторні операції

і пов’язані співвідношенням

, (1)

де

– вектор-функція, координатами якої є результати застосування оператора Лапласа до функцій .

2. Розкладання векторного поля на суму потенціального і соленоїдального полів

Довільне неперервно диференційовне векторне поле

може бути зображено у вигляді

, (2)

де

– потенціальне поле, – соленоїдальне поле.

Дійсно, за означенням потенціальне векторне поле

є градієнтом деякого скалярного поля : . Тому для вектора із рівності (2) маємо

. (3)

Щоб векторне поле

було соленоїдальним, воно має задовольняти умову , звідси, враховуючи рівність (3), знаходимо

.

Таким чином, для скалярного потенціала поля

отримуємо рівняння

, (4)

де

– відома функція даного поля .

Отже, якщо функція

є розв’язком рівняння (4), то, поклавши , , отримаємо зображення поля у вигляді (2), де – потенціальне поле, – соленоїдальне поле.

Рівняння (2) – неоднорідне рівняння в частинних похідних другого порядку, яке називається рівнянням Пуассона:

.

Відзначимо, що це рівняння має (нескінченну) множину розв’язків, тому зображення поля

у вигляді (2) не є єдиним.

2. Потік векторного поля

Розглянемо векторне поле

, визначене в просторовій області , і деяку кусково-гладку орієнтовну поверхню . Нехай – поле одиничних нормалей на обраній стороні поверхні .

Як було відзначено в п. 4.2, поверхневий інтеграл

(5)

називається потоком векторного поля

через поверхню в сторону, яка визначається вектором (кажуть також «потік через обрану сторону поверхні »).

Якщо взяти іншу сторону поверхні (змінити орієнтацію), то вектор

змінить напрям на протилежний; тому скалярний добуток , а отже, і потік (поверхневий інтеграл (5)) змінить знак.

Якщо

– швидкість рухомої рідини, то є кількістю (об’ємом) рідини, яка протікає через поверхню у напрямі нормалі за одиницю часу. Ця величина називається у фізиці (гідродинаміці) потоком рідини через поверхню . Тому і у випадку довільного векторного поля інтеграл (5) називається потоком векторного поля через поверхню .

Розглянемо електричне поле

точкового заряду , який міститься в точці . Знайдемо потік векторного поля через зовнішню сторону сфери радіуса з центром у точці . Нехай ( – точка на сфері ); тоді . Тому