Числовые ряды 3 (стр. 3 из 7)
Если ряд
расходится, то из правого неравенства 
, теоремы1, свойства 1 вытекает, что ряд 
расходится.Аналогично, если ряд
сходится (расходится), то сходящимся (расходящимся) будет и ряд .Признак Даламбера
В отличии от признаков сравнения признак Даламбера позволяет часто решить вопрос о сходимости ряда, проделав лишь некоторые операции над самим рядом.
Теорема
Пусть дан ряд
с положительными членами и существует конечный или бесконечный предел 
.Тогда ряд сходится при l<1 и расходится при l>1.
Так как
, то по определению предела для любого 
найдется натуральное число N такое, что при n>N выполняется неравенство 
или 
.Пусть l<1. Можно подобрать
так, что число 
, 
. Обозначим , . Тогда из правой части неравенства получаем 
, или 
. В силу свойства 3 числовых рядов можно считать, что для всех n=1, 2, 3,… Давая номеру nэти значения, получим серию неравенств: 
т.е. члены ряда
меньше соответствующих членов ряда 
, который сходится как ряд геометрической прогрессии со знаменателем 0<q<1. Но тогда, на основании признака сравнения, сходится ряд , следовательно, сходится и исходный ряд .Пусть l>1. В этом случае
. Отсюда следует, что начиная с некоторого номера N, выполняется неравенство 
, или 
, т.е. члены ряда возрастают с увеличением номера n. Поэтому 
. На основании следствия из необходимого признака ряд расходится.Если l=1, то ряд
может быть как сходящимся, так и расходящимся.Радикальный признак Коши
Теорема.
Пусть дан ряд
с положительными членами и существует конечный или бесконечный предел 
. Тогда ряд сходится при 
и расходится при 
.Как и для признака Даламбера, в случае, когда l=1, вопрос о сходимости ряда остается открытым. Доказательство теоремы аналогично доказательству признака Даламбера.
Интегральный признак Коши
Обобщенный гармонический ряд
Теорема.
Если члены знакоположительного ряда
могут быть представлены как числовые значения некоторой непрерывной монотонно убывающей на промежутке 
функции 
так, что 
, то:1) если
сходится, то сходится и ряд 2) если
расходится, то расходится также и ряд 
Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком функции y=f(x), основанием которой служит отрезок оси Ох от х=1 до х=n.
Построим входящие и выходящие прямоугольники, основаниями которых служат отрезки [1;2],[2;3],... Учитывая геометрический смысл определенного интеграла, запишем:
или
или
Случай 1. Несобственный интеграл
сходится, т.е. 
. Поскольку 
, то с учетом неравенства имеем: 
, т.е. 
. Так как последовательность частичных сумм монотонно возрастает и ограничена сверху (числом 
), то, по признаку существования предела, имеет предел.Следовательно, ряд
сходится.Случай 2. Несобственный интеграл
расходится. Тогда 
и интегралы 
неограниченно возрастают при 
. Учитывая, что 
, получаем, что 
при . Следовательно, данный ряд расходится.Ряд
,где p>0 – действительное число, называется обобщенным гармоническим рядом. Для исследования ряда на сходимость применим интегральный признак Коши.
Рассмотрим функцию
. Эта функция непрерывна, монотонно убывает на промежутке и 
. При 
имеем: 
При p=1 имеем гармонический ряд
, который расходится. Итак, ряд сходится при 
, расходится при 
. В частности, ряд 
сходится.Знакочередующиеся и знакопеременные ряды
Знакочередующиеся ряды
Знакочередующимся рядом называется ряд вида
,где
для всех 
.