Числовые ряды 3 (стр. 4 из 7)

Теорема (достаточный признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда).

Знакочередующийся ряд

сходится, если:

1. Последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает, т.е.
   
2. Общий член ряда стремится к нулю:
   

При этом сумма Sряда

удовлетворяет неравенствам

Рассмотрим сначала частичную сумму четного числа (2m) членов ряда. Имеем

Выражение в каждой скобке, согласно первому условию теоремы, положительно. Следовательно, сумма

и возрастает с возрастанием номера 2m.

С другой стороны,

можно переписать так:

Легко видеть, что

. Таким образом, последовательность возрастает и ограничена сверху. Следовательно, она имеет предел , причем .

Рассмотрим теперь частичные суммы нечетного числа (2m+1) членов ряда. Очевидно, что

. Отсюда следует, что , т.к. в силу второго условия теоремы. Итак, как при четном n, так и при нечетном n. Следовательно, ряд сходится, причем .

Общий достаточный признак сходимости знакопеременных рядов

Знакочередующийся ряд является частным случаем знакопеременного ряда. Числовой ряд

, содержащий бесконечное множество положительных и бесконечное множество отрицательных членов, называется знакопеременным.

Для знакопеременных рядов имеет место следующий общий достаточный признак сходимости.

Теорема.

Пусть дан знакопеременный ряд

Если сходится ряд

,

составленный из модулей членов данного ряда, то сходится и сам знакопеременный ряд

.

Рассмотрим вспомогательный ряд, составленный из членов рядов

и :

Очевидно, что

для всех . Но ряд сходится в силу условия теоремы и свойства 1 числовых рядов. Следовательно, на основании признака сравнения сходится и ряд . Поскольку данный знакопеременный ряд представляет собой разность двух сходящихся рядов

то, на основании свойства 2 числовых рядов, он сходится.

Обратное утверждение неверно.

Абсолютная и условная сходимость числовых рядов.

Свойства абсолютно сходящихся рядов.

Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд, составленный из модулей его членов, сходится.

Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если сам сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.

Среди знакопеременных рядов абсолютно сходящиеся ряды занимают особое место: на такие ряды переносятся основные свойства конечных сумм:

1. Если ряд абсолютно сходится и имеет сумму S, то ряд, полученный из него перестановкой членов, также сходится и имеет ту же сумму S, что и исходный ряд (теорема Дирихле)
2. Абсолютно сходящиеся ряды с суммами
   и
   можно почленно складывать (вычитать). В результате получается абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна
   +
   (или соответственно
   -
   )
3. Под произведением двух рядов
   и
   понимают ряд вида

Произведение двух абсолютно сходящихся рядов с суммами

и есть абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна .

Степенные ряды

Функциональные ряды

Основные понятия

Ряд, членами которого являются функции от х, называется функциональным:

Придавая х определенное значение

, мы получим числовой ряд

,

который может быть как сходящимся, так и расходящимся.

Если полученный числовой ряд сходится, то точка

называется точкой сходимости ряда ; если же ряд расходится – точкой расходимости функционального ряда.

Совокупность числовых значений аргумента х, при которых функциональный ряд сходится, называются его областью сходимости.

В области сходимости функционального ряда его сумма является некоторой функцией от х: S=S(x). Определяется она в области сходимости равенством

,где – частичная сумма ряда.

Среди функциональных рядов особую роль играет ряд, членами которого являются степенные функции аргумента х, т.е. так называемый степенной ряд:

Действительные (или комплексные) числа

называются коэффициентами ряда, - действительная переменная.

Ряд

расположен по степеням х. Рассматривают также степенной ряд, расположенный по степеням , т.е. ряд вида , где – некоторое постоянное число.

Сходимость степенных рядов.

Область сходимости степенного ряда содержит по крайней мере одну точку: х=0 (ряд сходится в точке)

Теорема Н. Абеля

Теорема

Если степенной ряд

сходится при , то он абсолютно сходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству

По условию ряд

сходится. Следовательно, по необходимому признаку сходимости . Отсюда следует, что величина ограничена, т.е. найдется такое число М>0, что для всех nвыполняется неравенство , n=1, 2,..