Числовые ряды 3 (стр. 5 из 7)

Пусть

, тогда величина и, следовательно, , т.е. модуль каждого члена ряда не превосходит соответствующего члена сходящегося (q<1) ряда геометрической прогрессии. Поэтому по признаку сравнения при ряд абсолютно сходящийся.

Следствие

Если ряд

расходится при , то он расходится и при всех х, удовлетворяющих неравенству

Действительно, если допустить сходимость ряда в точке

, для которой , то по теореме Абеля ряд сходится при всех х, для которых , и, в частности, в точке , что противоречит условию.

Интервал и радиус сходимости степенного ряда

Из теоремы Абеля следует, что если

есть точка сходимости степенного ряда, то интервал весь состоит из точек сходимости данного ряда; при всех значениях х вне этого интервала ряд расходится.

Интервал

и называют интервалом сходимости степенного ряда. Положив , интервал сходимости можно записать в виде (-R;R). Число R называют радиусом сходимости степенного ряда, т.е. R>0 – это такое число, что при всех х, для которых , ряд абсолютно сходится, а при – расходится.

В частности, когда ряд

сходится лишь в одной точке , то считаем, что R=0. Если же ряд сходится при всех значениях , то считаем, что .

Отметим, что на концах интервала сходимости (т.е. при х=Rи при х=-R) сходимость ряда проверяется в каждом случае отдельно.

Для нахождения радиуса сходимости степенного ряда

можно поступить следующим образом. Составим ряд из модулей членов данного степенного ряда

и применим к нему признак Даламбера. Допустим, что существует предел

,

По признаку Даламбера ряд сходится, если

, т.е. ряд сходится при тех значениях х, для которых ; ряд, составленный из модулей члена ряда , расходится при тех значениях х, для которых .Таким образом, для ряда радиус абсолютной сходимости

Аналогично, воспользовавшись радикальным признаком Коши, можно установить, что

Свойства степенных рядов

1. Сумма S(x) степенного ряда

является непрерывной функцией в интервале сходимости (-R;R).

2. Степенные ряды

и , имеющие радиусы сходимости соответственно и , можно почленно складывать, вычитать и умножать. Радиус сходимости произведения, суммы и разности рядов не меньше, чем меньшее из чисел и .

3. Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать; при этом для ряда

при –R<x<Rвыполняется равенство

Степенной ряд можно почленно интегрировать на каждом отрезке, расположенном внутри интервала сходимости; при этом для ряда
при –R<a<x<R выполняется равенство

Ряды

и имеют тот же радиус сходимости, что и исходный степенной ряд.

Разложение функций в степенные ряды

Ряды Тейлора и Маклорена

Как известно, для любой функции

определенной в окрестности точки и имеющей в ней производные до (n+1)-го порядка включительно, справедлива формула Тейлора:

где

– остаточный член в форме Лагранжа. Число с можно записать в виде , где . Формулу кратко можно записать в виде , где – многочлен Тейлора.

Если функция

имеет производные любых порядков в окрестности точки и остаточный член стремится к нулю при , то из формулы Тейлора получается разложение функции по степеням , называемое рядом Тейлора:

Если в ряде Тейлора положить

, то получим разложение функции по степеням х в так называемый ряд Маклорена:

Отметим, что ряд Тейлора можно формально построить для любой бесконечно дифференцируемой функции в окрестности точки

. Но отсюда еще не следует, что он будет сходиться к данной функции ; он может оказаться расходящимся или сходиться, но не к функции .

Теорема1

Для того чтобы ряд Тейлора

функции сходился к в точке х, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке остаточный член формулы Тейлора стремился к нулю при , т.е. чтобы 0.