Числовые ряды 3 (стр. 6 из 7)

Пусть ряд Тейлора

сходится к функции в некоторой окрестности точки , т.е. . Так как n-я частичная сумма ряда совпадает с многочленом Тейлора , т.е. находим:

Обратно, пусть

0. Тогда

Теорема2

Если модули всех производных функций

ограничены в окрестности точки одним и тем же числом М>0, то для любого х из этой окрестности ряд Тейлора функции сходится к функции , т.е. имеет место разложение .

Согласно теореме1, достаточно показать, что

0. По условию теоремы2 для любого n имеет место неравенство . Тогда имеем:

Осталось показать, что

. Для этого рассмотрим ряд

Так как

, то по признаку Даламбера этот ряд сходится на всей числовой оси. Но тогда, в силу необходимого признака сходимости,

Следовательно,

0

Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора (Маклорена)

Для разложения функции

в ряд Маклорена нужно:

А) найти производные

, ,…, ,..;

Б) вычислить значения производных в точке

;

В) написать ряд

для заданной функции и найти его интервал сходимости;

Ґ) найти интервал (-R;R), в котором остаточный член ряда Маклорена

при . Если такой интервал существует, то в нем функция и сумма ряда Маклорена совпадают.

Приведем таблицу, содержащую разложения в ряд Маклорена некоторых элементарных функций:

Докажем формулу.

Пусть

Имеем:

А)

Б)

В)

, т.е. ряд сходится в интервале ;

Ґ) для всех

имеем , т.е. все производные в этом интервале ограничены одним и тем же числом . Следовательно, . Таким образом, .

Докажем формулу.

Пусть f(x)=sin x

Имеем:

А)

Б)

В)

Легко проверить, что полученный ряд сходится на всей числовой оси, т.е. при всех

Ґ) любая производная функция f(x)=sin x по модулю не превосходит единицы,

. Следовательно, имеет место разложение f(x)=sin x.

Докажем формулу

Пусть f(x)=cos x

Формулу f(x)=cos x можно доказать так же, как и формулу f(x)=sin x. Однако проще получить разложение функции cos x, воспользовавшись свойством 3 степенных рядов. Продифференцировав почленно ряд f(x)=sin x, получим:

Докажем формулу

Пусть

,

Имеем:

А)

Б)

В)

Ґ)

, т.е. составленный для функции ряд сходится в интервале (-1;1), остаточный член стремится к нулю при .

Ряд

называется биномиальным. Если , то все члены ряда с (n+1)-го номера равны 0, так как содержат множитель . В этом случае ряд представляет собой известную формулу бинома Ньютона:

Докажем формулу

Пусть

Формула может быть получена разными способами:

1)пользуясь правилом разложения функции в ряд;

2)рассматривая ряд

как ряд геометрической прогрессии, первый член которой равен 1 и знаменатель q=x; известно, что данный ряд сходится при и его сумма равна

3)воспользовавшись формулой

: положив в ней и заменив х на –х, получим формулу .

Докажем формулу

Пусть f(x)=ln (1+x)

Формула f(x)=ln (1+x) также может быть доказана разными способами. Приведем один из них.

Рассмотрим равенство

,

справедливое для всех

. Используя свойство 4 степенных рядов, проинтегрируем данный ряд на отрезке [0;x], :