Числовые ряды 3 (стр. 1 из 7)

Числовые ряды

Основные понятия

Числовым рядом называется выражение вида

где

– действительные или комплексные числа, называемые членами ряда, - общим членом ряда.

Ряд считается заданным, если известен общий член ряда

, выраженный как функция его номера n: .

Сумма первых nчленов ряда называется n-й частичной суммой ряда и обозначается через

, т.е.

Если существует конечный предел

последовательности частичных сумм ряда , то этот предел называют суммой ряда и говорят, что ряд сходится. Записывают:

Если

не существует или = , то ряд называют расходящимся. Такой ряд суммы не имеет.

Рассмотрим некоторые важные свойства рядов:

Свойство 1. Если ряд

сходится и его сумма равна S, то ряд

где с – произвольное число, также сходится и его сумма равна cS. Если же ряд

расходится и , то и ряд расходится.

Обозначим n-ю частичную сумму ряда

через . Тогда

Следовательно,

,

т.е. ряд

сходится и имеет сумму cS.

Покажем теперь, что если ряд

расходится, , то и ряд расходится. Допустим противное: ряд сходится и имеет сумму .

Тогда

Отсюда получаем:

т.е. ряд

сходится, что противоречит условию о расходимости ряда.

Свойство 2. Если сходится ряд

и сходится ряд

А их суммы равны

и соответственно, то сходятся и ряды

,

причем сумма каждого равна соответственно

.

Обозначим n-е частичные суммы рядов

, и через , и соответственно. Тогда

т.е. каждый из рядов

сходится, и сумма его равна соответственно.

Из свойства 2 вытекает, что сумма (разность) сходящегося и расходящегося рядов есть расходящийся ряд.

Свойство 3. Если к ряду

прибавить (или отбросить) конечное число членов, то полученный ряд и ряд сходятся или расходятся одновременно.

Обозначим через S сумму отброшенных членов, через k – наибольший из номеров этих членов. Чтобы не менять нумерацию оставшихся членов ряда, будем считать, что на месте отброшенных членов поставили нули. Тогда при n>k будет выполняться равенство

, где – это n-я частичная сумма ряда, полученного из ряда путем отбрасывания конечного числа членов. Поэтому

+ . Отсюда следует, что пределы в левой и правой частях одновременно существуют или не существуют, т.е. ряд сходится (расходится) тогда и только тогда, когда сходятся (расходятся) ряды без конечного числа его членов.

Аналогично рассуждаем в случае приписывания к ряду конечного числа членов.

Ряд

=

называется n-м остатком ряда

. Он получается из ряда отбрасыванием nпервых его членов. Ряд получается из остатка добавлением конечного числа членов. Поэтому, согласно свойству 3, ряд и его остаток =

одновременно сходятся или расходятся.

Из свойства 3 также следует, что если ряд

сходится, то его остаток стремится к нулю при , т.е.

Ряд геометрической прогрессии

Исследуем сходимость ряда

,

который называется рядом геометрической прогрессии. Ряд часто используется при исследовании рядов на сходимость.

Как известно, сумма первых nчленов прогрессии находится по формуле

. Найдем предел этой суммы:

.

Рассмотрим следующие случаи в зависимости от величины q:

1. Если
   , то
   при
   . Поэтому
   , ряд
   сходится, его сумма равна
   ;
2. Если
   , то
   при
   . Поэтому
   , ряд
   расходится;
3. Если
   , то при q=1 ряд
   принимает вид

a+a+a+…+a+…, для него

и , т.е. ряд