Числовые ряды
Основные понятия
Числовым рядом называется выражение вида
где
Ряд считается заданным, если известен общий член ряда
Сумма первых nчленов ряда называется n-й частичной суммой ряда и обозначается через
Если существует конечный предел
Если
Рассмотрим некоторые важные свойства рядов:
Свойство 1. Если ряд
где с – произвольное число, также сходится и его сумма равна cS. Если же ряд
Обозначим n-ю частичную сумму ряда
Следовательно,
т.е. ряд
Покажем теперь, что если ряд
Тогда
Отсюда получаем:
т.е. ряд
Свойство 2. Если сходится ряд
А их суммы равны
причем сумма каждого равна соответственно
Обозначим n-е частичные суммы рядов
т.е. каждый из рядов
Из свойства 2 вытекает, что сумма (разность) сходящегося и расходящегося рядов есть расходящийся ряд.
Свойство 3. Если к ряду
Обозначим через S сумму отброшенных членов, через k – наибольший из номеров этих членов. Чтобы не менять нумерацию оставшихся членов ряда, будем считать, что на месте отброшенных членов поставили нули. Тогда при n>k будет выполняться равенство
Аналогично рассуждаем в случае приписывания к ряду конечного числа членов.
Ряд
называется n-м остатком ряда
одновременно сходятся или расходятся.
Из свойства 3 также следует, что если ряд
Ряд геометрической прогрессии
Исследуем сходимость ряда
который называется рядом геометрической прогрессии. Ряд часто используется при исследовании рядов на сходимость.
Как известно, сумма первых nчленов прогрессии находится по формуле
Рассмотрим следующие случаи в зависимости от величины q:
a+a+a+…+a+…, для него